Lösung - Aufgabe 2

Abbildung 1 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph von f

Abbildung 2 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph A

Abbildung 3 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph B

Abbildung 4 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph C

Die Abbildungen zeigen den Graphen \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten und stetigen Funktion \(f\) sowie die Graphen A, B und C.

Entscheiden Sie, welcher der Graphen A, B oder C den Graphen der Integralfunktion \(\displaystyle I_{0} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt\) darstellt, indem Sie begründen weshalb die beiden anderen Graphen nicht in Frage kommen. 

Graph C zeigt den Graphen der Integralfunktion \(\displaystyle I_{0} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt\).

 

Begründung, weshalb Graph A nicht in Frage kommt

Abbildung 2 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph A

Die Integralfunktion \(\displaystyle I_{0} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt\) besitzt an der unteren Integrationsgrenze \(x = 0\) eine Nullstelle, d. h. es gilt: \(I_{0}(0) = 0\) und der Graph \(G_{I_{0}}\) der Integralfunktion \(I_{0}\) verläuft durch den Koordinatenursprung \((0|0)\).

Graph A verläuft eindeutig nicht durch den Koordinatenursprung und stellt somit nicht den Graphen der Integralfunktion \(I_{0}\) dar. 

 

Begründung, weshalb Graph B nicht in Frage kommt

Abbildung 1 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph von f

Dem Verlauf des Graphen \(G_{f}\) ist zu entnehmen, dass im abgebildeten Bereich \(f(x) \geq 0\) gilt.

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Integralfunktion \(I_{0}\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) und es gilt \(I'_{0}(x) = f(x)\).

 

\[\Longrightarrow \quad I'_{0}(x) \geq 0\]

Gemäß dem Monotoniekriterium ist der Graph \(G_{I_{0}}\) der Integralfunktion \(I_{0}\) also im abgebildeten Bereich monoton steigend.

Abbildung 3 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph B

Graph B ist im abgebildeten Bereich monoton fallend und stellt deshalb nicht den Graphen der Integralfunktion \(I_{0}\) dar.

 

Nach dem Ausschlussprinzip ist Graph C der Graph der Integralfunktion \(I_{0}\).

 

Nachfolgende Erläuterung ist im Sinne der Aufgabenstellung nicht erforderlich. Sie dient lediglich dem besseren Verständnis.

 

Abbildung 4 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph C

Graph \(C\) verläuft durch den Koordinatenursprung und ist im abgebildeten Bereich monoton steigend.

Da \(G_{f}\) die \(x\)-Achse im Koordinatenursprung berührt (vgl. oben), ist \(x = 0\) doppelte Nullstelle von \(f\) (ohne Vorzeichenwechsel). Mit \(I'_{0}(0) = f(0) = 0\) und \(I'_{0}(x) \geq 0\) folgt, dass der Graph der Integralfunktion \(I_{0}\) an der Stelle \(x = 0\) eine waagrechte Tangente hat und in der Umgebung von \(x = 0\) streng monoton steigt. Das bedeutet, dass \(G_{I_{0}}\) an der Stelle \(x = 0\) einen Terrassenpunkt hat. Graph C bestätigt dies.

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