Teilaufgabe 3
Lösung zu Teilaufgabe 3
Exponentielles Wachstum
\[N(x) = N_0 \cdot e^{k \cdot (x - 2000)}\]
| \(x\) | \(2000\) | \(2010\) |
| \(N(x)\) | \(6{,}1 \cdot 10^9\) | \(6{,}9 \cdot 10^9\) |
Bestimmung von \(N_0\):
Der Beginn des Jahres 2000 markiert in diesem Fall den Anfang der Beobachtung des Bevölkerungswachstums. Mit \(x_0 = 2000\) folgt:
\[N(x_0) = N_0 \cdot e^{k \cdot (x_0 - 2000)} \quad \Longleftrightarrow \quad 6{,}1 \cdot 10^9 = N_0 \cdot \underbrace{e^{k \cdot (2000 - 2000)}}_{1}\]
\[\Longrightarrow \quad N_0 = 6{,}1 \cdot 10^9\]
Bestimmung von \(k\;\):
\[\begin{align*} N(2010) &= N_0 \cdot e^{k \cdot (2010 - 2000)} \\[0.8em] 6{,}9 \cdot 10^9 &= 6{,}1 \cdot 10^9 \cdot e^{10k} &{} &| : (6{,}1 \cdot 10^9) \\[0.8em] \frac{6{,}9}{6{,}1} &= e^{10k} &{} &| \ln(...) \\[0.8em] \ln{\left ( \frac{6{,}9}{6{,}1} \right )} &= 10k &{} &| : 10 \\[0.8em] k &= \frac{\ln{6{,}9} - \ln{6{,}1}}{10} \\[0.8em] k &\approx 0{,}0123 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad N(x) = 6{,}1 \cdot 10^9 \cdot e^{0{,}123 \cdot (x - 2000)}\]
