Teilaufgabe 1c

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Notwendige Bedingung für eine Exstremstelle:

\(d'(x) \overset{!}{=} 0\)

Erste Ableitung \(d'(x)\) bilden:

\[d(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 5{,}25} = \left ( x^2 - 2x + 5{,}25 \right )^{\frac{1}{2}}\]

\[\begin{align*} d'(x) &= \frac{1}{2} \cdot \left ( x^2 - 2x + 5{,}25 \right )^{-\frac{1}{2}} \cdot (2x - 2) \\[0.8em] &= \frac{2x - 2}{2 \sqrt{x^2 - 2x + 5{,}25}} \\[0.8em] &= \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 5{,}25}} \end{align*}\]

oder

\[\begin{align*} d'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x^{2} - 2x + 5{,}25}} \cdot (2x - 2) \\[0.8em] &= \frac{2x - 2}{2\sqrt{x^{2} - 2x + 5{,}25}} \\[0.8em] &= \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2x + 5{,}25}} \end{align*}\]

\[\begin {align*} d'(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad x - 1 &= 0 \\ x &= 1 \end {align*}\]

Nachweis, dass \(d\) an der Stelle \(x = 1\) ein Minimum hat:

\[d'(x) = \frac{x - 1}{\underbrace{\sqrt{x^2 - 2x + 5{,}25}}_{>~0}}\]

\(x < 1 \quad \Longrightarrow \quad d'(x) < 0 \quad \Longrightarrow \quad d(x)\) fällt im Intervall \(]-\infty;1]\) streng monoton.

\(x > 1 \quad \Longrightarrow \quad d'(x) > 0 \quad \Longrightarrow \quad d(x)\) steigt im Intervall \([1;+\infty[\) streng monoton.

\(\Longrightarrow \quad d(x)\) hat an der Stelle \(x_E = 1\) ein Minimum.

\[\Longrightarrow \quad x_E = 1, \quad f(x_E) = \sqrt{1 + 3} = 2 \quad \Longrightarrow \quad Q_E(1|2)\]

Der Graphenpunkt \(Q_E(1|2)\) hat vom Punkt \(P(1{,}5|0)\) den kleinsten Abstand.