Teilaufgabe 1c

Bewertungen Abitur Lösungen 2011 G8 Analysis I

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Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten desjenigen Graphenpunkts \(Q_E(x_E|y_E)\), der von \(P\) den kleinsten Abstand hat. Tragen Sie \(Q_E\) in Abbildung 1 ein.

(zur Kontrolle: \(x_E = 1\))

(7 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

Notwendige Bedingung für eine Exstremstelle:

 

\(d'(x) \overset{!}{=} 0\)

 

Erste Ableitung \(d'(x)\) bilden:

\[d(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 5{,}25} = \left ( x^2 - 2x + 5{,}25 \right )^{\frac{1}{2}}\]

 

\[\begin{align*} d'(x) &= \frac{1}{2} \cdot \left ( x^2 - 2x + 5{,}25 \right )^{-\frac{1}{2}} \cdot (2x - 2) \\[0.8em] &= \frac{2x - 2}{2 \sqrt{x^2 - 2x + 5{,}25}} \\[0.8em] &= \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 5{,}25}} \end{align*}\]

oder

\[\begin{align*} d'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x^{2} - 2x + 5{,}25}} \cdot (2x - 2) \\[0.8em] &= \frac{2x - 2}{2\sqrt{x^{2} - 2x + 5{,}25}} \\[0.8em] &= \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2x + 5{,}25}} \end{align*}\]

 

\[\begin {align*} d'(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad x - 1 &= 0 \\ x &= 1 \end {align*}\]

 

Nachweis, dass \(d\) an der Stelle \(x = 1\) ein Minimum hat:

\[d'(x) = \frac{x - 1}{\underbrace{\sqrt{x^2 - 2x + 5{,}25}}_{>~0}}\]

 

\(x < 1 \quad \Longrightarrow \quad d'(x) < 0 \quad \Longrightarrow \quad d(x)\) fällt im Intervall \(]-\infty;1]\) streng monoton.

\(x > 1 \quad \Longrightarrow \quad d'(x) > 0 \quad \Longrightarrow \quad d(x)\) steigt im Intervall \([1;+\infty[\) streng monoton.

 

\(\Longrightarrow \quad d(x)\) hat an der Stelle \(x_E = 1\) ein Minimum.

\[\Longrightarrow \quad x_E = 1, \quad f(x_E) = \sqrt{1 + 3} = 2 \quad \Longrightarrow \quad Q_E(1|2)\]

kleinster Abstand zwischen dem Graphen der Funktion f und dem Punkt P

Der Graphenpunkt \(Q_E(1|2)\) hat vom Punkt \(P(1{,}5|0)\) den kleinsten Abstand.

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