Teilaufgabe e

Bewertungen Abitur Lösungen 2011 G8 Geometrie

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Zeigen Sie, dass dieser Abstand mit der minimalen Entfernung des Hubschraubers vom Mittelpunkt des Grundstücks übereinstimmt, der im Modell durch den Punkt \(M(-40|30|30)\) dargestellt wird.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe e

 

1. Lösungsansatz mit Hilfsebene

2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts

3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung

 

\[M(-40|30|30), \qquad g \colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} -20 \\ 40 \\ 40 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix}, \enspace \lambda \in \mathbb R\]

 

Abstand eines Punktes von einer Geraden

 

1. Lösungsansatz mit Hilfsebene

Hilfsebene \(H\) mit den Eigenschaften \(M \in H\) und \(H \perp g\) bestimmen:

 

\[\overrightarrow {n}_H = \overrightarrow {u}_g = \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix}\]

 

\[H \colon \enspace \overrightarrow {n}_H \circ \left( \overrightarrow X - \overrightarrow M \right) = 0\]

\[H \colon \; \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} -40 \\ 30 \\ 30 \end {pmatrix} \right] = 0 \]

 

Lage der Hilfsebene H

Hilfsebene H mit den Eigenschaften M ∈ H und H ⊥ g

Hilfsebene \(\,H\,\) mit den Eigenschaften \(\,M \in H\,\) und \(\,H \perp g\,\)

 

Schnittpunkt \(S\) der Ebene \(H\) mit der Geraden \(g\) ermitteln:

 

Zur Berechnung des Schnittpunktes \(S\) setzt man den Ortsvektor \(\overrightarrow X\) aus der Geradengleichung von \(g\) in die Normalengleichung der Hilfsebene \(H\) ein und löst die Gleichung nach dem Parameter \(\lambda\) auf.

 

\[g \colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} -20 \\ 40 \\ 40 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix}\]

\[H \colon \; \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} -40 \\ 30 \\ 30 \end {pmatrix} \right] = 0\]

\[ \begin {align*} g \cap H \colon \enspace \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix} \circ \left[ \begin {pmatrix} -20 \\ 40 \\ 40 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} -40 \\ 30 \\ 30 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix} \circ \left[ \begin {pmatrix} 20 \\ 10 \\ 10 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 4 \cdot (20 + 4 \lambda) + 5 \cdot (10 + 5 \lambda) - 3 \cdot (10 - 3 \lambda) &= 0 \\[0.8em] 100 + 50 \lambda &= 0 \\[0.8em] 50 \lambda &= -100 \\[0.8em] \lambda &= -2 \end {align*} \]

 

Parameterwert \(\lambda = -2\) in \(g\) einsetzen:

 

\[S \in g \colon \enspace \overrightarrow S = \begin {pmatrix} -20 \\ 40 \\ 40 \end {pmatrix} - 2 \cdot \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} -28 \\ 30 \\ 46 \end {pmatrix}\]

 

Länge der Strecke \([MS]\) berechnen:

\[\begin{align*} \overline{MS} &= \vert \overrightarrow S - \overrightarrow M \vert \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} -28 \\ 30 \\ 46 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} -40 \\ 30 \\ 30 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} 12 \\ 0 \\ 16 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{12^2 + 0^2 + 16^2} \\[0.8em] &= 20 \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad d(M; g) = 20 = d(g, E)\) (siehe Teilaufgabe d)

 

2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts

 

Lotfußpunkt F des Lotes des Punktes M auf die Gerade g

Es sei \(\,F\,\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(\,M\,\) auf die Gerade \(\,g\,\). Der Richtungsvektor \(\,\overrightarrow{u}_g\,\) der Geraden \(\,g\,\) und er Vektor \(\,\overrightarrow{FM}\,\) stehen senkrecht zueinander (\(\,\overrightarrow{u}_g\) schematisch gezeichnet). 

 

\[M(-40|30|30), \qquad g \colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} -20 \\ 40 \\ 40 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix}, \enspace \lambda \in \mathbb R\]

Es sei \(F\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(M\) auf die Gerade \(g\).

Somit gilt: \(\enspace \overrightarrow{FM} \perp \overrightarrow{u}_g \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{FM} \circ \overrightarrow{u}_g = 0\)

 

Vektor \(\overrightarrow{FM}\) allgemein beschreiben:

 

\[F \in g \colon \enspace \overrightarrow F = \begin{pmatrix} -20 + 4 \lambda \\ 40 + 5 \lambda \\ 40 - 3 \lambda \end{pmatrix}\]

\[\begin{align*} \overrightarrow{FM} &= \overrightarrow M - \overrightarrow F \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -40 \\ 30 \\ 30 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -20 + 4 \lambda \\ 40 + 5 \lambda \\ 40 - 3 \lambda \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -20 - 4 \lambda \\ -10 - 5 \lambda \\ -10 + 3 \lambda \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Koordinaten des Lotfußpuntes \(F\) bestimmen:

\[\begin{align*}\overrightarrow{FM} \circ \overrightarrow{u}_g &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} -20 - 4 \lambda \\ -10 - 5 \lambda \\ -10 + 3 \lambda \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] (-20 - 4 \lambda) \cdot 4 + (-10 - 5 \lambda) \cdot 5 + (-10 + 3 \lambda) \cdot (-3) &= 0 \\[0.8em] -80 - 16 \lambda - 50 - 25 \lambda + 30 - 9 \lambda &= 0 \\[0.8em] -100 - 50 \lambda &= 0 \\[0.8em] -50 \lambda &= 100 \\[0.8em] \lambda &= -2 \end{align*}\]

 

Parameterwert \(\lambda = -2\) in \(g\) einsetzen:

 

\[F \in g \colon \enspace \overrightarrow F = \begin {pmatrix} -20 \\ 40 \\ 40 \end {pmatrix} - 2 \cdot \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} -28 \\ 30 \\ 46 \end {pmatrix}\]

 

Länge der Strecke \([MF]\) berechnen:

\[\begin{align*} \overline{MF} &= \vert \overrightarrow F - \overrightarrow M \vert \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} -28 \\ 30 \\ 46 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} -40 \\ 30 \\ 30 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} 12 \\ 0 \\ 16 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{12^2 + 0^2 + 16^2} \\[0.8em] &= 20 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad d(M; g) = 20\]

 

3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung

 

\[M(-40|30|30), \qquad g \colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} -20 \\ 40 \\ 40 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix}, \enspace \lambda \in \mathbb R\]

Länge der Strecke zwischen dem Punkt M und einem beliebigen Punkt X ∈ g in Abhängigkeit des Parameterwertes λ der Geradengleichung von g

 

Die Länge der Strecke \(\,[MX]\,\) zwischen dem Punkt \(\,M\,\) und einem beliebigen Punkt \(\,X \in g\,\) lässt sich in Abhängigkeit des Parametrewertes \(\,\lambda\,\) der Geradengleichung von \(\,g\,\) beschreiben.

 

Länge der Strecke \([MX]\) in Abhängigkeit von \(\lambda\,\):

\[\overline{MX} = \vert \overrightarrow X - \overrightarrow M \vert\]

\[\begin{align*} \overline{MX}(\lambda) &= \left| \begin {pmatrix} -20 + 4\lambda \\ 40 + 5\lambda \\ 40 - 3\lambda \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} -40 \\ 30 \\ 30 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} 20 + 4\lambda \\ 10 + 5\lambda \\ 10 - 3\lambda \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(20 + 4\lambda)^2 + (10 + 5\lambda)^2 + (10 - 3\lambda)^2} \\[0.8em] &= \sqrt{400 + 160\lambda + 16\lambda^2 + 100 + 100\lambda + 25\lambda^2 + 100 + 60\lambda + 9\lambda^2} \\[0.8em] &= \sqrt{50\lambda^2 + 200\lambda + 600} \\[0.8em] &= \sqrt{50(\lambda^2 + 4\lambda + 12)} \end {align*}\]

 

Parameterwert \(\lambda_{min}\) für minimale Länge bestimmen:

 

\(\overline{MX}(\lambda)\) ist minimal, wenn der Wert des Radikanden minimal ist.

\[\left [ 50(\lambda^2 + 4\lambda + 12) \right ]' \enspace \overset{!}{=} \enspace 0\]

 

Erste Ableitung des Radikanden bilden:

\[\left [ 50(\lambda^2 + 4\lambda + 12) \right ]' = 50(2\lambda + 4)\]

 

\[\begin{align*} \Longrightarrow \quad 2\lambda + 4 &= 0 \\[0.8em] \lambda &= -2 \end{align*}\]

 

Art der Extremstelle:

 

\[\left [ 50(\lambda^2 + 4\lambda + 12) \right ]'' = \left[ 50(2 \lambda + 4) \right]' = 100\]

\[\Longrightarrow \quad \left [ 50(\lambda^2 + 4\lambda + 12) \right ]'' > 0\]

 

\(\Longrightarrow \quad \overline{MX}(\lambda)\) ist für \(\lambda_{min} = -2\) minimal.

 

Minimale Länge berechnen:

 

\[d\,(M;g) = \overline{MX}(\lambda_{min}) = \sqrt{50\left( (-2)^2 + 4 \cdot (-2) +12 \right)} = 20\]

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