Teilaufgabe e
Lösung zu Teilaufgabe e
1. Lösungsansatz mit Hilfsebene
2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts
3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung
\[M(-40|30|30), \qquad g \colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} -20 \\ 40 \\ 40 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix}, \enspace \lambda \in \mathbb R\]
Abstand eines Punktes von einer Geraden
1. Lösungsansatz mit Hilfsebene
Hilfsebene \(H\) mit den Eigenschaften \(M \in H\) und \(H \perp g\) bestimmen:
\[\overrightarrow {n}_H = \overrightarrow {u}_g = \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix}\]
\[H \colon \enspace \overrightarrow {n}_H \circ \left( \overrightarrow X - \overrightarrow M \right) = 0\]
\[H \colon \; \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} -40 \\ 30 \\ 30 \end {pmatrix} \right] = 0 \]
Lage der Hilfsebene H
Hilfsebene \(\,H\,\) mit den Eigenschaften \(\,M \in H\,\) und \(\,H \perp g\,\)
Schnittpunkt \(S\) der Ebene \(H\) mit der Geraden \(g\) ermitteln:
Zur Berechnung des Schnittpunktes \(S\) setzt man den Ortsvektor \(\overrightarrow X\) aus der Geradengleichung von \(g\) in die Normalengleichung der Hilfsebene \(H\) ein und löst die Gleichung nach dem Parameter \(\lambda\) auf.
\[g \colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} -20 \\ 40 \\ 40 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix}\]
\[H \colon \; \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} -40 \\ 30 \\ 30 \end {pmatrix} \right] = 0\]
\[ \begin {align*} g \cap H \colon \enspace \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix} \circ \left[ \begin {pmatrix} -20 \\ 40 \\ 40 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} -40 \\ 30 \\ 30 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix} \circ \left[ \begin {pmatrix} 20 \\ 10 \\ 10 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 4 \cdot (20 + 4 \lambda) + 5 \cdot (10 + 5 \lambda) - 3 \cdot (10 - 3 \lambda) &= 0 \\[0.8em] 100 + 50 \lambda &= 0 \\[0.8em] 50 \lambda &= -100 \\[0.8em] \lambda &= -2 \end {align*} \]
Parameterwert \(\lambda = -2\) in \(g\) einsetzen:
\[S \in g \colon \enspace \overrightarrow S = \begin {pmatrix} -20 \\ 40 \\ 40 \end {pmatrix} - 2 \cdot \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} -28 \\ 30 \\ 46 \end {pmatrix}\]
Länge der Strecke \([MS]\) berechnen:
\[\begin{align*} \overline{MS} &= \vert \overrightarrow S - \overrightarrow M \vert \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} -28 \\ 30 \\ 46 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} -40 \\ 30 \\ 30 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} 12 \\ 0 \\ 16 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{12^2 + 0^2 + 16^2} \\[0.8em] &= 20 \end{align*}\]
\(\Longrightarrow \quad d(M; g) = 20 = d(g, E)\) (siehe Teilaufgabe d)
2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts
Es sei \(\,F\,\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(\,M\,\) auf die Gerade \(\,g\,\). Der Richtungsvektor \(\,\overrightarrow{u}_g\,\) der Geraden \(\,g\,\) und er Vektor \(\,\overrightarrow{FM}\,\) stehen senkrecht zueinander (\(\,\overrightarrow{u}_g\) schematisch gezeichnet).
\[M(-40|30|30), \qquad g \colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} -20 \\ 40 \\ 40 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix}, \enspace \lambda \in \mathbb R\]
Es sei \(F\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(M\) auf die Gerade \(g\).
Somit gilt: \(\enspace \overrightarrow{FM} \perp \overrightarrow{u}_g \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{FM} \circ \overrightarrow{u}_g = 0\)
Vektor \(\overrightarrow{FM}\) allgemein beschreiben:
\[F \in g \colon \enspace \overrightarrow F = \begin{pmatrix} -20 + 4 \lambda \\ 40 + 5 \lambda \\ 40 - 3 \lambda \end{pmatrix}\]
\[\begin{align*} \overrightarrow{FM} &= \overrightarrow M - \overrightarrow F \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -40 \\ 30 \\ 30 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -20 + 4 \lambda \\ 40 + 5 \lambda \\ 40 - 3 \lambda \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -20 - 4 \lambda \\ -10 - 5 \lambda \\ -10 + 3 \lambda \end{pmatrix} \end{align*}\]
Koordinaten des Lotfußpuntes \(F\) bestimmen:
\[\begin{align*}\overrightarrow{FM} \circ \overrightarrow{u}_g &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} -20 - 4 \lambda \\ -10 - 5 \lambda \\ -10 + 3 \lambda \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] (-20 - 4 \lambda) \cdot 4 + (-10 - 5 \lambda) \cdot 5 + (-10 + 3 \lambda) \cdot (-3) &= 0 \\[0.8em] -80 - 16 \lambda - 50 - 25 \lambda + 30 - 9 \lambda &= 0 \\[0.8em] -100 - 50 \lambda &= 0 \\[0.8em] -50 \lambda &= 100 \\[0.8em] \lambda &= -2 \end{align*}\]
Parameterwert \(\lambda = -2\) in \(g\) einsetzen:
\[F \in g \colon \enspace \overrightarrow F = \begin {pmatrix} -20 \\ 40 \\ 40 \end {pmatrix} - 2 \cdot \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} -28 \\ 30 \\ 46 \end {pmatrix}\]
Länge der Strecke \([MF]\) berechnen:
\[\begin{align*} \overline{MF} &= \vert \overrightarrow F - \overrightarrow M \vert \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} -28 \\ 30 \\ 46 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} -40 \\ 30 \\ 30 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} 12 \\ 0 \\ 16 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{12^2 + 0^2 + 16^2} \\[0.8em] &= 20 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad d(M; g) = 20\]
3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung
\[M(-40|30|30), \qquad g \colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} -20 \\ 40 \\ 40 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix}, \enspace \lambda \in \mathbb R\]
Die Länge der Strecke \(\,[MX]\,\) zwischen dem Punkt \(\,M\,\) und einem beliebigen Punkt \(\,X \in g\,\) lässt sich in Abhängigkeit des Parametrewertes \(\,\lambda\,\) der Geradengleichung von \(\,g\,\) beschreiben.
Länge der Strecke \([MX]\) in Abhängigkeit von \(\lambda\,\):
\[\overline{MX} = \vert \overrightarrow X - \overrightarrow M \vert\]
\[\begin{align*} \overline{MX}(\lambda) &= \left| \begin {pmatrix} -20 + 4\lambda \\ 40 + 5\lambda \\ 40 - 3\lambda \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} -40 \\ 30 \\ 30 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} 20 + 4\lambda \\ 10 + 5\lambda \\ 10 - 3\lambda \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(20 + 4\lambda)^2 + (10 + 5\lambda)^2 + (10 - 3\lambda)^2} \\[0.8em] &= \sqrt{400 + 160\lambda + 16\lambda^2 + 100 + 100\lambda + 25\lambda^2 + 100 - 60\lambda + 9\lambda^2} \\[0.8em] &= \sqrt{50\lambda^2 + 200\lambda + 600} \\[0.8em] &= \sqrt{50(\lambda^2 + 4\lambda + 12)} \end {align*}\]
Parameterwert \(\lambda_{min}\) für minimale Länge bestimmen:
\(\overline{MX}(\lambda)\) ist minimal, wenn der Wert des Radikanden minimal ist.
\[\left [ 50(\lambda^2 + 4\lambda + 12) \right ]' \enspace \overset{!}{=} \enspace 0\]
Erste Ableitung des Radikanden bilden:
\[\left [ 50(\lambda^2 + 4\lambda + 12) \right ]' = 50(2\lambda + 4)\]
\[\begin{align*} \Longrightarrow \quad 2\lambda + 4 &= 0 \\[0.8em] \lambda &= -2 \end{align*}\]
Art der Extremstelle:
\[\left [ 50(\lambda^2 + 4\lambda + 12) \right ]'' = \left[ 50(2 \lambda + 4) \right]' = 100\]
\[\Longrightarrow \quad \left [ 50(\lambda^2 + 4\lambda + 12) \right ]'' > 0\]
\(\Longrightarrow \quad \overline{MX}(\lambda)\) ist für \(\lambda_{min} = -2\) minimal.
Minimale Länge berechnen:
\[d\,(M;g) = \overline{MX}(\lambda_{min}) = \sqrt{50\left( (-2)^2 + 4 \cdot (-2) +12 \right)} = 20\]
