Teilaufgabe d

Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\) sowie das Volumen \(V\) der Pyramide.

(Teilergebnis: \(V = 216\))

(7 BE)

Lösung zu Teilaufgabe d

 

Neigungswinkel der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\)

Der Neigungswinkel der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\) entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen der Geraden \(BS\), und der Ebene \(E\).

Richtungsvektor \(\overrightarrow {u}_g\) der Geraden \(g\):

 

\[\overrightarrow {u}_g = \overrightarrow{BS} = \overrightarrow S - \overrightarrow B = \begin {pmatrix} 11{,}5 \\ 4 \\ -6 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 6 \\ -7 \\ 1 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 5{,}5 \\ 11 \\ -7 \end {pmatrix}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow {n}_E\) der Ebene \(E\):

 

Aus Teilaufgabe c ist bekannt: \(\overrightarrow {n}_E = \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix}\).

 

Berechnung des Schnittwinkels \(\alpha\):

\[\begin{align*} \sin \alpha &= \frac{\vert \overrightarrow u \circ \overrightarrow {n}_E \vert}{\vert \overrightarrow u \vert \cdot \vert \overrightarrow {n}_E \vert} \\[0.8em] &= \frac{\begin {pmatrix} 5{,}5 \\ 11 \\ -7 \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix}}{\left| \begin {pmatrix} 5{,}5 \\ 11 \\ -7 \end {pmatrix} \right| \cdot \left| \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{5{,}5 \cdot 2 + 11 \cdot 1 + (-7) \cdot (-2)}{\sqrt{5{,}5^2 + 11^2 + (-7)^2} \cdot \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} \\[0.8em] &= 0{,}847 \dots & &| \sin^{-1}(\dots) \\[0.8em] \alpha &\approx 58^{\circ} \end{align*}\]

 

Der Neigungswinkel der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\) beträgt ca. 58°.

 

Veranschaulichung: Neigungswinkel der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\)

  • Neigungswinkel der Seitenkante [BS] gegen die Ebene E - Grafik 1
    Neigungswinkel der Seitenkante [BS] gegen die Ebene E - Grafik 1
  • Neigungswinkel der Seitenkante [BS] gegen die Ebene E - Grafik 2
    Neigungswinkel der Seitenkante [BS] gegen die Ebene E - Grafik 2
  • Neigungswinkel der Seitenkante [BS] gegen die Ebene E - Grafik 1
  • Neigungswinkel der Seitenkante [BS] gegen die Ebene E - Grafik 2

Das Lot des Punktes \(S\) auf die Ebene \(E\) legt den Lotfußpunkt \(F\) fest. Der Neigungswinkel \(\alpha\) der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\) ist definiert als der Winkel \(SBF\) im rechtwinkligen Dreieck \(BSF\,\). Im vorliegenden Fall liegt der Lotfußpunkt \(F\) auf der Seitenkante \([AB]\) und der Neigungswinkel \(\alpha\) ist gleich dem Winkel, den die Seitenkannten \([BS]\) und \([AB]\) einschließen.

 

Volumen \(V\) der Pyramide

 

1. Lösungsansatz: Anwenden des Spatprodukts

Lage der Pyramide ABCS im Koordinatensystem, Berechnung des Volumens mit Hilfe des Spatprodukts

Das Volumen \(V\) der Pyramide lässt sich durch Anwenden des Spatprodukts berechnen. Dazu wählt man beispielsweise die drei linear unabhängigen Vektoren \(\overrightarrow{BA}\,,\;\overrightarrow{BC}\) und \(\overrightarrow{BS}\).

 

\[V_{ABCS} = \frac{1}{6} \cdot \left| \left( \overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC} \right) \circ \overrightarrow{BS}\;\right|\]

 

\[\overrightarrow{BA} = \overrightarrow A - \overrightarrow B = \begin {pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 6 \\ -7 \\ 1 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} -5 \\ 14 \\ 2 \end {pmatrix}\]

\[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow C - \overrightarrow B = \begin {pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 6 \\ -7 \\ 1 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} -8 \\ 8 \\ -4 \end {pmatrix}\]

\(\overrightarrow{BS} = \begin {pmatrix} 5{,}5 \\ 11 \\ -7 \end {pmatrix}\) (siehe oben)

\[ \begin {align*} V_{ABCS} &= \frac{1}{6} \cdot \left| \left( \overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC} \right) \circ \overrightarrow{BS}\;\right| \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot \left| \left[ \begin {pmatrix} -5 \\ 14 \\ 2 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} -8 \\ 8 \\ -4 \end {pmatrix} \right] \circ \begin {pmatrix} 5{,}5 \\ 11 \\ -7 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot \left| \begin {pmatrix} 14 & \cdot & (-4) & - & 2 & \cdot & 8 \\ 2 & \cdot & (-8) & - & (-5) & \cdot & (-4) \\ (-5) & \cdot & 8 & - & 14 & \cdot & (-8) \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} 5{,}5 \\ 11 \\ -7 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot \left| \begin {pmatrix} -72 \\ -36 \\ 72 \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} 5{,}5 \\ 11 \\ -7 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot \left| (-72) \cdot 5{,}5 + (-36) \cdot 11 + 72 \cdot (-7) \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot \left| -1296 \right| \\[0.8em] &= 216 \end {align*} \]

 

Das Volumen \(V_{ABCS}\) der Pyramide \(ABCS\) beträgt \(216\) VE (Volumeneinheiten).

 

2. Lösungsansatz: Höhe der Pyramide bestimmen

 

Die Höhe der Pyramide \(ABCS\) ist gleich dem Abstand der Spitze \(S\) von der Grundfläche \(ABC\), welche die Ebene \(E\) festlegt (siehe Teilaufgabe c).

\[V = \frac{1}{3} \cdot A_{ABC} \cdot h\,; \quad h = d\,(S;E)\]

 

Höhe \(h\) der Pyramide \(ABCS\) bestimmen:

\(E \colon \enspace 2x_1 + x_2 -2 x_3 - 3 = 0\;\) (siehe Teilaufgabe c)

\[\overrightarrow{n}_E = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\]

\[\vert \overrightarrow{n}_E \vert = \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3\]

 

\[E^{HNF} \colon \enspace \frac{2x_1 + x_2 - 2x_3}{3} = 0\]

 

Abstand \(d\,(S;E)\) berechnen:

 

\[S\,(11{,}5|4|-6)\]

 

\[d\,(S;E) = \left| \frac{2s_1 + s_2 - 2s_3 - 3}{3} \right| = \left| \frac{2 \cdot 11{,}5 + 4 - 2 \cdot (-6) - 3}{3} \right| = 12\]

\[\Longrightarrow \quad h = 12\]

 

Grundfläche der Pyramide berechnen:

 

Die Längen der Katheten \([CA]\) und \([CB]\) des rechtwinkligen Dreiecks \(ABC\) sind aus den Teilaufgaben a, b bekannt:

 

\[\overline{CA} = 9\,; \quad \overline{CB} = 12\]

 

\[A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \overline{CA} \cdot \overline{CB} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54\]

 

Volumen \(V\) der Pyramide \(ABCS\) berechnen:

 

\[V = \frac{1}{3} \cdot A_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 54 \cdot 12 = 216\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe c Teilaufgabe e »