Teilaufgabe d

Lösung zu Teilaufgabe d

 

Neigungswinkel der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\)

Der Neigungswinkel der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\) entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen der Geraden \(BS\), und der Ebene \(E\).

Richtungsvektor \(\overrightarrow {u}_g\) der Geraden \(g\):

 

\[\overrightarrow {u}_g = \overrightarrow{BS} = \overrightarrow S - \overrightarrow B = \begin {pmatrix} 11{,}5 \\ 4 \\ -6 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 6 \\ -7 \\ 1 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 5{,}5 \\ 11 \\ -7 \end {pmatrix}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow {n}_E\) der Ebene \(E\):

 

Aus Teilaufgabe c ist bekannt: \(\overrightarrow {n}_E = \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix}\).

 

Berechnung des Schnittwinkels \(\alpha\):

\[\begin{align*} \sin \alpha &= \frac{\vert \overrightarrow u \circ \overrightarrow {n}_E \vert}{\vert \overrightarrow u \vert \cdot \vert \overrightarrow {n}_E \vert} \\[0.8em] &= \frac{\begin {pmatrix} 5{,}5 \\ 11 \\ -7 \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix}}{\left| \begin {pmatrix} 5{,}5 \\ 11 \\ -7 \end {pmatrix} \right| \cdot \left| \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end {pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{5{,}5 \cdot 2 + 11 \cdot 1 + (-7) \cdot (-2)}{\sqrt{5{,}5^2 + 11^2 + (-7)^2} \cdot \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} \\[0.8em] &= 0{,}847 \dots & &| \sin^{-1}(\dots) \\[0.8em] \alpha &\approx 58^{\circ} \end{align*}\]

 

Der Neigungswinkel der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\) beträgt ca. 58°.

 

Veranschaulichung: Neigungswinkel der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\)

Das Lot des Punktes \(S\) auf die Ebene \(E\) legt den Lotfußpunkt \(F\) fest. Der Neigungswinkel \(\alpha\) der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\) ist definiert als der Winkel \(SBF\) im rechtwinkligen Dreieck \(BSF\,\). Im vorliegenden Fall liegt der Lotfußpunkt \(F\) auf der Seitenkante \([AB]\) und der Neigungswinkel \(\alpha\) ist gleich dem Winkel, den die Seitenkannten \([BS]\) und \([AB]\) einschließen.

 

Volumen \(V\) der Pyramide

 

1. Lösungsansatz: Anwenden des Spatprodukts

Das Volumen \(V\) der Pyramide lässt sich durch Anwenden des Spatprodukts berechnen. Dazu wählt man beispielsweise die drei linear unabhängigen Vektoren \(\overrightarrow{BA}\,,\;\overrightarrow{BC}\) und \(\overrightarrow{BS}\).

 

\[V_{ABCS} = \frac{1}{6} \cdot \left| \left( \overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC} \right) \circ \overrightarrow{BS}\;\right|\]

 

\[\overrightarrow{BA} = \overrightarrow A - \overrightarrow B = \begin {pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 6 \\ -7 \\ 1 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} -5 \\ 14 \\ 2 \end {pmatrix}\]

\[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow C - \overrightarrow B = \begin {pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} 6 \\ -7 \\ 1 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} -8 \\ 8 \\ -4 \end {pmatrix}\]

\(\overrightarrow{BS} = \begin {pmatrix} 5{,}5 \\ 11 \\ -7 \end {pmatrix}\) (siehe oben)

\[ \begin {align*} V_{ABCS} &= \frac{1}{6} \cdot \left| \left( \overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC} \right) \circ \overrightarrow{BS}\;\right| \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot \left| \left[ \begin {pmatrix} -5 \\ 14 \\ 2 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} -8 \\ 8 \\ -4 \end {pmatrix} \right] \circ \begin {pmatrix} 5{,}5 \\ 11 \\ -7 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot \left| \begin {pmatrix} 14 & \cdot & (-4) & - & 2 & \cdot & 8 \\ 2 & \cdot & (-8) & - & (-5) & \cdot & (-4) \\ (-5) & \cdot & 8 & - & 14 & \cdot & (-8) \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} 5{,}5 \\ 11 \\ -7 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot \left| \begin {pmatrix} -72 \\ -36 \\ 72 \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} 5{,}5 \\ 11 \\ -7 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot \left| (-72) \cdot 5{,}5 + (-36) \cdot 11 + 72 \cdot (-7) \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot \left| -1296 \right| \\[0.8em] &= 216 \end {align*} \]

 

Das Volumen \(V_{ABCS}\) der Pyramide \(ABCS\) beträgt \(216\) VE (Volumeneinheiten).

 

2. Lösungsansatz: Höhe der Pyramide bestimmen

 

Die Höhe der Pyramide \(ABCS\) ist gleich dem Abstand der Spitze \(S\) von der Grundfläche \(ABC\), welche die Ebene \(E\) festlegt (siehe Teilaufgabe c).

\[V = \frac{1}{3} \cdot A_{ABC} \cdot h\,; \quad h = d\,(S;E)\]

 

Höhe \(h\) der Pyramide \(ABCS\) bestimmen:

\(E \colon \enspace 2x_1 + x_2 -2 x_3 - 3 = 0\;\) (siehe Teilaufgabe c)

\[\overrightarrow{n}_E = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\]

\[\vert \overrightarrow{n}_E \vert = \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3\]

 

\[E^{HNF} \colon \enspace \frac{2x_1 + x_2 - 2x_3}{3} = 0\]

 

Abstand \(d\,(S;E)\) berechnen:

 

\[S\,(11{,}5|4|-6)\]

 

\[d\,(S;E) = \left| \frac{2s_1 + s_2 - 2s_3 - 3}{3} \right| = \left| \frac{2 \cdot 11{,}5 + 4 - 2 \cdot (-6) - 3}{3} \right| = 12\]

\[\Longrightarrow \quad h = 12\]

 

Grundfläche der Pyramide berechnen:

 

Die Längen der Katheten \([CA]\) und \([CB]\) des rechtwinkligen Dreiecks \(ABC\) sind aus den Teilaufgaben a, b bekannt:

 

\[\overline{CA} = 9\,; \quad \overline{CB} = 12\]

 

\[A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \overline{CA} \cdot \overline{CB} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54\]

 

Volumen \(V\) der Pyramide \(ABCS\) berechnen:

 

\[V = \frac{1}{3} \cdot A_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 54 \cdot 12 = 216\]