Teilaufgabe 1d

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an \(G_f\) im Achsenschnittpunkt \(S\).

(Ergebnis: \(y = 0{,}18x + 0{,}2\))

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

\[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9}\,; \quad D = \mathbb R\]

\[S\,(0|0{,}2)\]

 

1. Lösungsansatz: Tangentengleichung

\[T\,\colon\, y = f'(x_{S}) \cdot (x - x_{S}) + f(x_{S})\]

\[x_{S}= 0\]

\(f(x_{S}) = f(0) = 0{,}2\,\) (siehe Teilaufgabe 1a)

\(\displaystyle f'(x_{S}) = f'(0) = \frac{18e^0}{(e^0 + 9)^2} = \frac{18}{100} = 0{,}18\) (siehe Teilaufgabe 1c)

 

\[\begin{align*} y &= f'(x_{S}) \cdot (x - x_{S}) + f(x_{S}) \\[0.8em] &= 0{},18 \cdot (x - 0) + 0{,}2 \\[0.8em] &= 0{,}18x + 0{,}2 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = 0{,}18x + 0{,}2\]

 

2. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung

\[T\,\colon\, y = m_{T} \cdot x +t\,; \quad S\,(0|0{,}2) \]

 

Tangentensteigung bestimmen:

\[m_T = f'(0) = \frac{18e^0}{e^0 + 9} = \frac{18}{100} = 0{,}18\]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:

 

Da der Punkt \(S\,(0|0{,}2)\) auf der \(y\)-Achse liegt, kann der \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente \(T\) direkt dem Punkt \(S\) entnommen werden. 

\[t = y_S = 0{,}2\]

 

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = 0{,}18x + 0{,}2\]

 

Tangente t an den Graphen von f im Punkt S

Tangente \(T\) an \(G_f\) im Punkt \(S\)

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1c Teilaufgabe 1e »