Teilaufgabe 2c

Im Modell gibt es einen Zeitpunkt \(x_M\), zu dem die Blumen am schnellsten wachsen. Bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert für \(x_M\). Ermitteln Sie anschließend einen Näherungswert für die maximale Wachstumsrate in Zentimetern pro Tag.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2c

 

Der Zeitpunkt \(x_M\,\), zu dem die Sonnenblumen am schnellsten wachsen, entspricht der Wendestelle von \(G_f\). Die Steigung der Tangente an \(G_f\) im Wendepunkt \(W\) (maximale lokale Änderungsrate) beschreibt die maximale Wachstumsrate.

 

1. Graphische Lösung

 

Tangente im Wendepunkt W an den Graphen von f

 

Im Rahmen der Zeichengenauigkeit abzulesen:

 

\[x_M \approx 2{,}2 \pm 0{,}2 \,\text{Monate}\]

\[f'(x_M) = \frac{\Delta \, y}{\Delta \, x} \approx 0{,}5 \pm 0{,}1 \frac{\text{m}}{\text{Monat}}\]

 

Maximale Wachstumsrate in Zentimeter pro Tag:

 

1 Monat entspricht 28 - 31 Tage.

 

\[f'(x_M) = 0{,}5 \, \frac{\text{m}}{\text{Monat}} = \frac{100\; \text{cm}}{30\, \text{Tage}} \approx 1{,}7\, \frac{\text{cm}}{\text{d}}\]

 

2. Rechnerische Lösung

 

Es genügt, den grafisch ermittelten Näherungswert für \(x_M\) in die Ableitung \(f'(x)\) aus Teilaufgabe 1c einzusetzen.

 

\[f'(x) = \frac{18e^x}{(e^x + 9)^2}\]

 

\[f'(2{,}2) = \frac{18 \cdot e^{2{,}2}}{(e^{2{,}2} + 9)^2} \approx 0{,}5\]

 

\[0{,}5 \, \frac{\text{m}}{\text{Monat}} = \frac{100\; \text{cm}}{30\, \text{Tage}} \approx 1{,}7\, \frac{\text{cm}}{\text{d}}\]

 

Ergänzung: vollständig rechnerische Lösung

 

Wendepunkt \(W\) von \(G_f\)

Zweite Ableitung \(f''(x)\) bilden:

 

\(\displaystyle f'(x) = \frac{18e^x}{(e^x + 9)^2}\;\) (siehe Teilaufgabe 1c)

\[\begin{align*}f''(x) &= \frac{18e^x \cdot (e^x + 9)^2 - 18e^x \cdot 2 \cdot (e^x + 9) \cdot e^x}{(e^x + 9)^4} \\[0.8em] &= \frac{18e^x(e^x + 9) \cdot (e^x + 9 -2e^x)}{(e^x + 9)^4} \\[0.8em] &= \frac{\overbrace{18e^x(e^x + 9)}^{>\,0} \cdot (9 - e^x)}{\underbrace{(e^x + 9)^4}_{>\,0}} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}f''(x) \overset{!}{=} 0 \quad \Longrightarrow \quad 9 - e^x &= 0 \\[0.8em] e^x &= 9 & &| \; \ln(\dots) \\[0.8em] x &= \ln(9) \\[0.8em] x &= 2\ln(3) \\[0.8em] x &\approx 2{,}2 \end{align*}\]

 

\[f(\ln(9)) = \frac{2e^{\ln(9)}}{e^{\ln(9)} + 9} = \frac{18}{18} = 1\]

 

\[\left. \begin{align*} x &< \ln(9) \quad \Longrightarrow \quad 9 - e^x > 0 \quad \Longrightarrow \quad f''(x) > 0 \\[0.8em] x &> \ln(9) \quad \Longrightarrow \quad 9 - e^x < 0 \quad \Longrightarrow \quad f''(x) < 0 \end{align*} \right \} \Longrightarrow W\,(2\ln(3)|1)\]

 

\[\Longrightarrow \quad x_M = 2\ln(3) \approx 2{,}2\]

 

Maximale Wachstumsrate

 

\[f'(\ln(9)) = \frac{18e^{\ln(9)}}{(e^{\ln(9)} + 9)^2} = \frac{18 \cdot 9}{18^2} = \frac{9}{18} = 0{,}5\]

 

\[0{,}5 \, \frac{\text{m}}{\text{Monat}} = \frac{100\; \text{cm}}{30\, \text{Tage}} \approx 1{,}7\, \frac{\text{cm}}{\text{d}}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2b Teilaufgabe 2d »