Teilaufgabe 1b

Ein den oberen Rand des Kunstwerks genauer darstellendes Modell liefert der Graph der in \(\mathbb R\) definierten ganzrationalen Funktion \(q\) vierten Grades mit \(q(x) = -0{,}11x^4 - 0{,}81x^2 + 5\,\). Der Graph von \(q\) wird mit \(G_q\) bezeichnet.

Weisen Sie rechnerisch nach, dass \(G_q\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist, durch die Punkte \(A\) und \(B\) verläuft und genau einen Extrempunkt besitzt.

(7 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

\[q(x) = -0{,}11x^4 -0{,}81x^2 + 5 \,; \quad D_q = \mathbb R\]

 

Nachweis der Achsensymmetrie von \(G_q\)

\[\begin{align*} q(-x) &= -0{,}11(-x)^4 -0{,}81(-x)^2 + 5 \\[0.8em] &= -0{,}11x^4 - 0{,}81x^2 + 5 \\[0.8em] &= q(x) \end{align*}\]

 

Nachweis: \(A\,,\,B\, \in q\)

 

1. Lösungsansatz: Punktprobe

 

\[A\,(-2|0)\,, \quad B\,(2|0)\,, \quad q(x) = -0{,}11x^4 -0{,}81x^2 + 5\]

 

\[\begin{align*} A \in q \, \colon \enspace 0 &= -0{,}11 \cdot (-2)^4 - 0{,}81 \cdot (-2)^2 + 5 \\[0.8em] 0 &= -0{,}11 \cdot 16 - 0{,}81 \cdot 4 + 5 \\[0.8em] 0 &= -1{,}76 - 3{,}24 + 5 \\[0.8em] 0 &= 0 \enspace (\text{w}) \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} B \in q \, \colon \enspace 0 &= -0{,}11 \cdot 2^4 - 0{,}81 \cdot 2^2 + 5 \\[0.8em] 0 &= -0{,}11 \cdot 16 - 0{,}81 \cdot 4 + 5 \\[0.8em] 0 &= -1{,}76 - 3{,}24 + 5 \\[0.8em] 0 &= 0 \enspace (\text{w}) \end{align*}\]

 

2. Lösungsansatz: Nullstellen von \(q\)

 

\[A\,(-2|0)\,, \quad B\,(2|0)\,, \quad q(x) = -0{,}11x^4 -0{,}81x^2 + 5\]

 

Die Punkte \(A\) und \(B\) liegen auf der \(x\)-Achse. 

 

Nullstellen von \(q\) berechnen:

 

\[\begin{align*} -0{,}11x^4 - 0{,}81x^2 + 5 &= 0 & &| \; \text{Substitution:} \enspace u = x^2 \\[0.8em] -0{,}11u^2 -0{,}81u + 5 &= 0 \end{align*}\]

\[\begin{align*} u_{1,2} &= \frac{0{,}81 \pm \sqrt{(-0{,}81)^2 - 4 \cdot (-0{,}11) \cdot 5}}{2 \cdot (-0{,}11)} \\[0.8em] &= \frac{0{,}81 \pm 1{,}69}{-0{,}22} \\[0.8em] u_1 &= -\frac{125}{11} \quad \vee \quad u_2 = 4 \end{align*}\]

 

Resubstitution:

 

\[\begin{align*} x^2 &= u_1 \\[0.8em] x^2 &= -\frac{125}{11} & &\Longrightarrow \quad \text{keine Lösung} \\[2.4em] x^2 &= u_2 \\[0.8em] x^2 &= 4 & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm 2 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad A\,(-2|0)\, \enspace B\,(2|0)\]

 

Nachweis des einzigen Extrempunktes von \(G_q\)

 

\[g(x) = -0{,}11x^4 -0{,}81x^2 + 5 \,, \quad D_q = \mathbb R\]

 

Notwendige Bedingung: \(\;q'(x) \overset{!}{=} 0\)

 

Erste Ableitung \(q'(x)\) bilden:

\[\begin{align*}q'(x) &= -0{,}11 \cdot 4x^3 - 0{,}81 \cdot 2x \\[0.8em] &= -0{,}44x^3 - 1{,}62x \\[0.8em] &= -x\big( 0{,}44x^2 + 1{,}62 \big) \end{align*}\]

 

\[-x\big( \underbrace{0{,}44x^2 + 1{,}62}_{>\,0}\big) = 0\]

 

\(\Longrightarrow \quad x = 0\) ist einzige Nullstelle von \(g'(x)\,\). Folglich kann \(G_q\) nur einen Extrempunkt besitzen.

 

Extrempunkt bestätigen bzw. Terrassenpunkt ausschließen:

Zweite Ableitung g''(x) bilden:

\[\begin{align*} g'(x) = -0{,}44x^3 - 1{,}62x \quad \Longrightarrow \quad g''(x) &= -0{,}44 \cdot 3x^2 - 1{,}62 \\[0.8em] &= -1{,}32x^2 -1{,}62\end{align*}\]

 

\[q''(0) = -1{,}62\]

 

\(q''(0) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad G_q\,\) besitzt genau einen Extrempunkt.

 

Ergänzung: Art und Lage des Extrempunkts

\(\left. \begin{align*} q'(0) &= 0 \\[0.8em] q''(0) &< 0 \end{align*} \right\} \Longrightarrow \quad\) \(G_q\) hat an der Stelle \(x = 0\) ein lokales Maximum.

 

\[g(0) = -0{,}11 \cdot 0^4 -0{,}81 \cdot 0^2 + 5 = 5\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Der Punkt \(C\,(0|5)\) (siehe Teilaufgabe 1a) ist Hochpunkt und einziger Extrempunkt von \(G_q\,\).

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1a Teilaufgabe 1c »