Teilaufgabe 2c

Lösung zu Teilaufgabe 2c

 

Mittlere Änderungsraten von \(f\) im Zeitintervall \([2;t]\)

 

Die mittlere Änderungsrate der Funktion \(\,f\,\) im Intervall \(\,[\,2;t\,]\,\) enspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte \(\,(2\,|\,f(2))\,\) und \(\,(t\,|\,f(t))\,\).

\[m = \frac{f(t) - f(2)}{t - 2}\]

 

Mittlere Änderungsrate von \(f\) im Zeitintervall \([2;3]\,\):

 

\[f(2) \approx 35\,\pm\,1\]

\[f(3) \approx 63\,\pm\,1\]

 

\[\Longrightarrow \quad m = \frac{f(3) - f(2)}{3 - 2} \approx \frac{63 - 35}{3 - 2} = 28\]

 

Mittlere Änderungsrate von \(f\) im Zeitintervall \([2;4]\,\):

 

\[f(2) \approx 35\,\pm\,1\]

\[f(4) \approx 74\,\pm\,1\]

 

\[\Longrightarrow \quad m = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} \approx \frac{74 - 35}{4 - 2} = 19{,}5\]

 

Grenzwert der mittleren Änderungsraten für \(t \to 2\) im Sachzusammenhang

Der Grenzwert \(\,\displaystyle \lim \limits_{t\,\to\,2} \frac{f(t) - f(2)}{t - 2} = f'(2)\,\) der mittleren Änderungsraten für \(t \to 2\) beschreibt die momentane Änderungsrate des Wasserdurchflusses zum Zeitpunkt \(t = 2\,\). Die Steigung der Tangente an den Grapfen von \(f\) an der Stelle \(t = 2\) entspricht dem Wert der momentanen Änderungsrate (Einheit: \(\,\frac{\sf{m}^3}{\sf{min}^2}\)).

 

Grenzwert der mittleren Änderungsrate für \(t \to 2\)