Teilaufgabe 2c

Bestimmen Sie mithilfe von \(G_f\) für \(t = 4\) und \(t = 3\) jeweils einen Näherungswert für die mittlere Änderungsrate von \(f\) im Zeitintervall \([2;t]\,\). Veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in Abbildung 3 durch geeignete Steigungsdreiecke. Welche Bedeutung hat der Grenzwert der mittleren Änderungsraten für \(t \to 2\) im Sachzusammenhang?

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2c

 

Mittlere Änderungsraten von \(f\) im Zeitintervall \([2;t]\)

 

Steigungsdreiecke der Sekanten zur Bestimmung der mittleren Änderungsrate

Die mittlere Änderungsrate der Funktion \(\,f\,\) im Intervall \(\,[\,2;t\,]\,\) enspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte \(\,(2\,|\,f(2))\,\) und \(\,(t\,|\,f(t))\,\).

\[m = \frac{f(t) - f(2)}{t - 2}\]

 

Mittlere Änderungsrate von \(f\) im Zeitintervall \([2;3]\,\):

 

\[f(2) \approx 35\,\pm\,1\]

\[f(3) \approx 63\,\pm\,1\]

 

\[\Longrightarrow \quad m = \frac{f(3) - f(2)}{3 - 2} \approx \frac{63 - 35}{3 - 2} = 28\]

 

Mittlere Änderungsrate von \(f\) im Zeitintervall \([2;4]\,\):

 

\[f(2) \approx 35\,\pm\,1\]

\[f(4) \approx 74\,\pm\,1\]

 

\[\Longrightarrow \quad m = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} \approx \frac{74 - 35}{4 - 2} = 19{,}5\]

 

Grenzwert der mittleren Änderungsraten für \(t \to 2\) im Sachzusammenhang

Der Grenzwert \(\,\displaystyle \lim \limits_{t\,\to\,2} \frac{f(t) - f(2)}{t - 2} = f'(2)\,\) der mittleren Änderungsraten für \(t \to 2\) beschreibt die momentane Änderungsrate des Wasserdurchflusses zum Zeitpunkt \(t = 2\,\). Die Steigung der Tangente an den Grapfen von \(f\) an der Stelle \(t = 2\) entspricht dem Wert der momentanen Änderungsrate (Einheit: \(\,\frac{\sf{m}^3}{\sf{min}^2}\)).

 

Grenzwert der mittleren Änderungsrate für \(t \to 2\)

  • Grenzwert der mittleren Änderungsrate für t → 2 - Grafik 1

    \(t = 4\,\): Die Steigung der Sekante beschreibt die mittlere Änderungsrate von \(f\) im Zeitintervall \([2;4]\,\).

    Grenzwert der mittleren Änderungsrate für t → 2 - Grafik 1

    \(t = 4\,\): Die Steigung der Sekante beschreibt die mittlere Änderungsrate von \(f\) im Zeitintervall \([2;4]\,\).

  • Grenzwert der mittleren Änderungsrate für t → 2 - Grafik 2

    \(t = 3\,\): Die Steigung der Sekante beschreibt die mittlere Änderungsrate von \(f\) im Zeitintervall \([2;3]\,\).

    Grenzwert der mittleren Änderungsrate für t → 2 - Grafik 2

    \(t = 3\,\): Die Steigung der Sekante beschreibt die mittlere Änderungsrate von \(f\) im Zeitintervall \([2;3]\,\).

  • Grenzwert der mittleren Änderungsrate für t → 2 - Grafik 3

    \(t = 2{,}25\,\): Die Steigung der Sekante beschreibt die mittlere Änderungsrate von \(f\) im Zeitintervall \([2;2{,}25]\,\).

    Grenzwert der mittleren Änderungsrate für t → 2 - Grafik 3

    \(t = 2{,}25\,\): Die Steigung der Sekante beschreibt die mittlere Änderungsrate von \(f\) im Zeitintervall \([2;2{,}25]\,\).

  • Grenzwert der mittleren Änderungsrate für t → 2 - Grafik 4

    \(t = 2\,\): Die Steigung der Tangente \(\bf{t}\) beschreibt die momentane Änderungsrate von \(f\) zum Zeitpunkt \(t = 2\,\).

    Grenzwert der mittleren Änderungsrate für t → 2 - Grafik 4

    \(t = 2\,\): Die Steigung der Tangente \(\bf{t}\) beschreibt die momentane Änderungsrate von \(f\) zum Zeitpunkt \(t = 2\,\).

  • Grenzwert der mittleren Änderungsrate für t → 2 - Grafik 1
  • Grenzwert der mittleren Änderungsrate für t → 2 - Grafik 2
  • Grenzwert der mittleren Änderungsrate für t → 2 - Grafik 3
  • Grenzwert der mittleren Änderungsrate für t → 2 - Grafik 4
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