Teilaufgabe c

Lösung zu Teilaufgabe c

Rechteck \(\,GHKL\,\) (Dachfenster) und Gerade \(\,CD\,\)

\(G\,(2|4|2)\,\), \(\quad \overline{GL} = 1\,\), \(\quad H\,,K \in CD\)

Koordinaten der Punkte \(L\,,H\) und \(K\)

Da das Dachzimmer die Form eines geraden Prismas hat, der Boden und zwei Seitenwände in den Koordinatenebenen liegen, und das Fenster die Form eines Rechtecks hat, gilt:

\[GL \parallel x_1\text{-Achse}\,, \quad GH \perp CD\,, \quad LK \perp CD\]

Mithilfe von Abbildung 1 ergibt sich:

\[\overrightarrow{L} = \overrightarrow{G} + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad L\,(1|4|2)\]

\[\overrightarrow{H} = \overrightarrow{C} + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad H\,(2|6|1)\]

\[\overrightarrow{K} = \overrightarrow{C} + \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad K\,(1|6|1)\]

Flächeninhalt des Fensters

\[\overrightarrow{GH} = \overrightarrow{H} - \overrightarrow{G} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\]

\[\overline{GH} = \vert \overrightarrow{GH} \vert = \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1  \end{pmatrix} \right| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}\]

\[A_{GHKL} = \overline{GL} \cdot \overline{GH} = 1 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5} \approx 2{,}24\]

Der Flächeninhalt des Fensters beträgt ca. 2,24 m².