Teilaufgabe b

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), in der die Seitenfläche \(BSTC\) liegt, in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_2 + 4x_3 - 24 = 0\))

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

\[BSTC \subset E\]

 

\[B\,(10|8|0)\,, \enspace S\,(2|8|0)\,, \enspace T\,(2|4|3)\,, \enspace C\,(10|4|3)\]

Richtungsvektoren der Ebene \(E\) bestimmen:

 

Z.B. sind \(\overrightarrow{CT}\) und \(\overrightarrow{CB}\) zwei linear unabhängige Richtungsvektoren der Ebene \(E\,\).

 

\[\overrightarrow{CT} = \overrightarrow{T} - \overrightarrow{C} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} = \begin{pmatrix} 10 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_E\) der Ebene \(E\) bestimmen:

\begin{align*} \overrightarrow{CT} \times \overrightarrow{CB} &= \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 & \cdot & (-3) & - & 0 & \cdot & 4 \\ 0 & \cdot & 0 & - & (-8) & \cdot & (-3) \\ (-8) & \cdot & 4 & - & 0 & \cdot & 0 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 \\ -24 \\ -32 \end{pmatrix} = -8 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\end{align*}

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_E = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\]

 

Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung aufstellen:

 

Es sei \(C\,(10|4|3)\) der Aufpunkt der Ebene \(E\,\).

 

\[\begin {align*} \Longrightarrow \quad &E \colon \enspace \overrightarrow{n}_E \circ \left( \overrightarrow X - \overrightarrow C \right) = 0 \\[0.8em] &E \colon \enspace \begin {pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 10 \\ 4 \\ 3 \end {pmatrix} \right] = 0 \end {align*}\]

 

Ebenengleichung in Normalenform in Koordinatendarstellung bestimmen:

\[\begin {align*} \begin {pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 10 \\ 4 \\ 3 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 0 \cdot (x_1 - 10) + 3 \cdot (x_2 - 4) + 4 \cdot (x_3 - 3) &= 0 \\[0.8em] 3x_2 - 12 + 4x_3 - 12 &= 0 \\[0.8em] 3x_2 + 4x_3 - 24 &= 0 \end {align*}\]

 

\[E\,\colon \enspace 3x_2 + 4x_3 - 24 = 0\]

 

Ebene E, in der die Seitenfläche BSTC liegt

Die Seitenfläche \(\,BSTC\,\) des Prismas repräsentiert die Ebene \(E\,\).

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