Teilaufgabe 2b

Zeigen Sie, dass die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F\) mit \(F(x) = x^2 \cdot e^x\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Geben eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion \(G\) von \(f\) an, für die \(G(1) = 2e\) gilt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Nachweis der Stammfunktion \(F\)

 

\[F(x) = x^2 \cdot e^x \,; \quad D = \mathbb R\]

 

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:

\[F'(x) = f(x)\]

\[\begin{align*} F'(x) &= 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x \\[0.8em] &= e^x \cdot (2x + x^2) \\[0.8em] &= f(x) \end{align*}\]

\(\Longrightarrow \quad\) Die Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

 

Gleichung einer weiteren Stammfunktion \(G\), für die \(G(1) = 2e\) gilt

 

Jede Funktion \(G\) mit \(G(x) = F(x) + C \,; \; C \in \mathbb R\) ist wegen \(C' = 0\) eine Stammfunktion von \(f\).

 

\[\begin{align*}G(x) &= F(x) + C \\[0.8em] &= x^2 \cdot e^x + C \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}G(1) &= 2e \\[0.8em] 1^2 \cdot e^1 & + C = 2e \\[0.8em] e + C &= 2e & &| -e \\[0.8em] C = e \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad G(x) = x^2 \cdot e^x + e\) ist eine Stammfunktion von \(f\), für die \(G(1) = 2e\) gilt (deren Graph \(G_{G}\) den Punkt \((1|2e)\) enthält).

Graph der Funktion f, Graphen der Stammfunktionen F und G

Der Graph der Stammfunktion \(G\) ist gegenüber dem Graphen der Stammfunktion \(F\) um den Wert \(C = e\) in \(y\)-Richtung verschoben.

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