Teilaufgabe 4a
Lösung zu Teilaufgabe 4a
Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:
\[F'(x) = f(x)\]
\(G_f\) hat im Intervall \([a;b]\) eine einfache Nullstelle \(x_N\) mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\). Somit ändert der Graph einer Stammfunktion \(F\) im Intervall \([a;b]\) das Monotonieverhalten von „streng monoton steigend" zu „streng monoton fallend" und besitzt an der Stelle \(x_N\) einen Hochpunkt \(HoP\,(x_N|F(x_N))\).
\[\left. \begin{align*} &F'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x < x_{N} \\ &F'(x_{N}) = 0 \\ &F'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x > x_{N} \end{align*} \right \} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkt} \; HoP\,(x_{N}|F(x_{N}))\]
Anmerkung: Die Abbildung zeigt im Intervall \([a;b]\) den Graphen \(G_F\) der Stammfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_0^x f(x)\,dx\). Die Menge aller Stammfunktionen von \(f\) ist gegeben durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int f(x)\,dx\). Die Stammfunktionen unterscheiden sich im Wert einer additiven Integrationskonstante \(C\), welche den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) in \(y\)-Richtung verschiebt. Der Hochpunkt an der Stelle \(x_N\) kann somit in \(y\)-Richtung beliebig skizziert werden. Der charakteristische Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\) bleibt derselbe (siehe Teilaufgabe 4b).
