Teilaufgabe 4c

Geben Sie den Term einer Stammfunktion der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(k \colon x \mapsto x - g(x)\) an.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4c

 

\(g(x) = 0{,}7 \cdot e^{0{,}5x} -0{,}7; D_{g} = \mathbb R\) (vgl. Angabe Aufgabe 4)

\[k(x) = x - g(x); \; D_{k} = \mathbb R\]

 

Beispielsweise ist \(K(x) = \dfrac{1}{2}x^{2} + 0{,}7x - 1{,}4 \cdot e^{0{,}5x}\) eine Stammfunktion von \(k(x)\).

 

Mögliche Vorgehensweise (nicht verlangt)

Zunächst wird der Funktionsterm \(k(x)\) mithilfe des Funktionsterms \(g(x)\) ausformuliert.

 

\[\begin{align*} k(x) &= x - g(x) \\[0.8em] &=x - \left( 0{,}7 \cdot e^{0{,}5x} -0{,}7 \right) \\[0.8em] &= x + 0{,}7 - 0{,}7 \cdot e^{0{,}5x} \end{align*}\]

 

Die Menge aller Stammfunktion von \(k(x)\) ist gegeben durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int k(x)dx\).

 

\[\int k(x)dx = \int \left(x + 0{,}7 - 0{,}7 \cdot e^{0{,}5x}\right)dx = K(x) + C\]

Mithilfe der unbestimmten Integrale

\(\textcolor{#cc071e}{\displaystyle \int x^{r} dx = \dfrac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq - 1)}\),

\(\textcolor{#0087c1}{\displaystyle \int c\,dx = cx + C}\),

\(\textcolor{#89ba17}{\displaystyle \int e^{x} dx = e^{x} + C}\) und

\(\textcolor{#89ba17}{\displaystyle \int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C}\)

ergibt sich:

 

\[\begin{align*}\int k(x)dx &= \int \left(\textcolor{#cc071e}{x} + \textcolor{#0087c1}{0{,}7} - 0{,}7 \cdot \textcolor{#89ba17}{e^{0{,}5x}}\right)dx \\[0.8em] &= \textcolor{#cc071e}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}} +  \textcolor{#0087c1}{0{,}7x} - 0{,}7 \cdot \textcolor{#89ba17}{\frac{1}{0{,}5} \cdot e^{0{,}5x}} + C \\[0.8em] &= \frac{x^{2}}{2} + 0{,}7x - 0{,}7 \cdot 2 \cdot e^{0{,}5x} + C \\[0.8em] &= \frac{1}{2}x^{2} + 0{,}7x - 1{,}4 \cdot e^{0{,}5x} + C \end{align*}\]

 

Somit ist \(K(x) = \dfrac{1}{2}x^{2} + 0{,}7x - 1{,}4 \cdot e^{0{,}5x}\) eine Stammfunktion von \(k(x)\) (für \(C = 0\)).

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