Teilaufgabe 2a

Gegeben ist die Funktion \(g \colon x \mapsto (x^{2} - 9x) \cdot \sqrt{2 - x}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_{g}\). Geben Sie \(D_{g}\) und alle Nullstellen von \(g\) an.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

\[g(x) = (x^{2} - 9x) \cdot \sqrt{2 - x}\]

 

Maximale Definitionsmenge \(D_{g}\)

Der Wurzelterm \(\sqrt{2 - x}\) schränkt die Definitionsmenge der Funktion \(g\) ein. Der Radikand (Ausdruck unter der Wurzel) \(\textcolor{#cc071e}{2 - x}\) darf nicht negativ sein.

 

\[\textcolor{#cc071e}{2 - x \geq 0} \enspace \Leftrightarrow \enspace x \leq 2 \enspace \Rightarrow \enspace D_{g} = \; ]-\infty;2]\]

 

Nullstellen von \(g\)

Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

 

\[g(x) = \textcolor{#0087c1}{(x^{2} - 9x)} \cdot \textcolor{#e9b509}{\sqrt{2 - x}}; \; D_{g} = \; ]-\infty;2]\]

 

\[\begin{align*} \textcolor{#0087c1}{(x^{2} - 9x)} &= 0 \\[0.8em] x \cdot (x - 9) &= 0 &&| \; D_{g} = \; ]-\infty;2] \\[0.8em] \Rightarrow \enspace x_{1} &= 0 \\[0.8em] (x &= 9 \textcolor{#cc071e}{\notin} D_{g}) \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{\sqrt{2 - x}} &= 0 \\[0.8em] \Rightarrow \enspace x_{2} &= 2\end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1 Teilaufgabe 2b »

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