Ableitung einer Potenzfunktion

Zeigen Sie, dass \(F \colon x \mapsto 3x - (x - 1) \cdot \ln{(x - 1)}\) mit Definitionsbereich \(D_{f} = \; ]1; +\infty[\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, und bestimmen Sie den Term der Stammfunktion von \(f\), die bei \(x = 2\) eine Nullstelle hat.

(4 BE)

Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinate von \(W_{k}\) in Abhängigkeit von \(k\).

(zur Kontrolle: \(x = -\frac{1}{k} - 1\))

(3 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\).

(5 BE)

Gegeben ist ferner die in \(]-1;+\infty[\) definierte Funktion \(F \colon x \mapsto 4 \cdot \ln{(x + 1)} + \dfrac{4}{x + 1}\).

Zeigen Sie, dass \(F\) für \(x > -1\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.

(3 BE)

Gegeben ist die Funktion \(h \colon x \mapsto x \cdot \ln{(x^{2})}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D_{h}\).

Geben Sie \(D_{h}\) an und zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion \(h'\) gilt: \(h'(x) = \ln{(x^{2})} + 2\).

(2 BE)

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f \colon x \mapsto x^{2} + 4\) und \(g_{m} \colon x \mapsto m \cdot x\) mit \(m \in \mathbb R\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) und der Graph von \(g_{m}\) mit \(G_{m}\) bezeichnet.

Skizzieren Sie \(G_{f}\) in einem Koordinatensystem. Berechnen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punkts der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{4}\).

(3 BE)

Ermitteln Sie den Term der Ableitungsfunktion \(g'\) von \(g\).

(2 BE)

Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(G_{f}\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}}\))

(4 BE)

Zeigen Sie, dass es einen Wert von \(k > 0\) gibt, für den \(A(k)\) maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von \(k\) sowie den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks \(P_{k}Q_{k}R\).

(6 BE)

Für jeden Wert \(s > 0\) legen die Punkte \((0|1)\), \((s|1)\), \((s|f(s))\) und \((0|f(s))\) ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(R(s)\) fest.

(zur Kontrolle: \(R(s) = 7s \cdot e^{-0{,}2s}\))

(7 BE)

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts des Algenteppichs zu Beobachtungsbeginn.

(4 BE)

Betrachtet wird die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^{3}}}\).

Zeigen Sie, dass die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(F\) mit \(F(x) = -\dfrac{2}{\sqrt{x}}\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.

(2 BE)

Die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(Q_{a}\) wird mit \(t_{a}\) bezeichnet. Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von \(a \in \mathbb R\), für den \(t_{a}\) durch \(P\) verläuft.

(3 BE)

Gegeben ist eine in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto ax^{2} + c\) mit \(a, c \in \mathbb R\), deren Graph im Punkt \(N(1|0)\) die Tangente mit der Gleichung \(y = -x + 1\) besitzt. Bestimmen Sie \(a\) und \(c\).

(3 BE)

Bestimmen Sie das jeweilige Monotonieverhalten von \(f\) in den drei Teilintervallen \(]-\infty;-2[\), \(]-2;2[\) und \(]2;+\infty[\) der Definitionsmenge. Berechnen Sie zudem die Steigung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \((0|f(0))\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = -\dfrac{6 \cdot (x^{2} + 4)}{(x^{2} - 4)^{2}}\))

(5 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch die \(x\)-Koordinaten der beiden Extrempunkte von \(G_{f}\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = (x^{2} - 2x - 1) \cdot e^{-x}\))

(4 BE)

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_a\) mit \(f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3\) und \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\).

Zeigen Sie, dass \(f'_a(0) = -a\) gilt.

(1 BE)

Zeigen Sie, dass der Graph von \(g\) in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt.

(3 BE)

Gegeben ist die Funktion \(h \colon x \mapsto \ln{(2x - 3)}\) mit Definitionsmenge \(D_h = \; ]\frac{3}{2};+\infty[\). Geben Sie die Nullstelle von \(h\) sowie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von \(h\) an.

(2 BE)

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_a\) mit \(f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3\) und \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\).

Zeigen Sie, dass \(f'_a(0) = -a\) gilt.

(1 BE)