Verhalten im Unendlichen

Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1}\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R \backslash \{-1\} \).

Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\).

Abb. 2

Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von \(G_f\) an und zeigen Sie rechnerisch, dass \(G_f\) seine schräge Asymptote nicht schneidet. Zeichnen Sie die Asymptoten in Abbildung 2 ein.

(6 BE)

Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge \(\mathbb W\) hat.

\(\mathbb W = [-2;2]\)

(2 BE)

Geben Sie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) an. Machen Sie plausibel, dass \(G_f\) für \(x \to +\infty\) die Gerade mit der Gleichung \(y = x\) als schräge Asymptote besitzt.

(3 BE)