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Hochpunkt

  • Der Hochpunkt des Graphen von \(f\) liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung 1). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse einschließt, überein. Bestimmen Sie den Wert von \(a\).

    Abbildung 1 Analysis 2 Prüfungsteil A Mathematik Abitur Bayern 2023Abb. 1

    (3 BE) 

  • Unter dem Wasserdurchfluss eines Bachs an einer bestimmten Stelle versteht man das Volumen des Wassers, das an der Stelle in einer bestimmten Zeit vorbeifließt. Die Funktion \(f\) beschreibt die zeitliche Entwicklung des Wasserdurchflusses eines Bachs an einer Messstelle, nachdem zum Zeitpunkt \(t = 0\) eine bachaufwärts gelegene Schleuse geöffnet wurde. Abbildung 3 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\,\).

    Abbildung 3

    Abb. 3

    Entnehmen Sie Abbildung 3 im Bereich \(t > 1\) Näherungswerte für die Koordinaten des Hochpunkts sowie für die \(t\)-Koordinaten der beiden Wendepunkte von \(G_f\) und geben Sie unter Berücksichtigung dieser Näherungswerte die jeweilige Bedeutung der genannten Punkte im Sachzusammenhang an.

    (5 BE)

  • Ein den oberen Rand des Kunstwerks genauer darstellendes Modell liefert der Graph der in \(\mathbb R\) definierten ganzrationalen Funktion \(q\) vierten Grades mit \(q(x) = -0{,}11x^4 - 0{,}81x^2 + 5\,\). Der Graph von \(q\) wird mit \(G_q\) bezeichnet.

    Weisen Sie rechnerisch nach, dass \(G_q\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist, durch die Punkte \(A\) und \(B\) verläuft und genau einen Extrempunkt besitzt.

    (7 BE)

  • Im Intervall \(]0;2[\) gibt es eine Stelle \(x_0\), an der der Wert der Differenz \(d(x) = q(x) - p(x)\) maximal wird. Berechnen Sie \(x_0\) sowie den Wert der zugehörigen Differenz.

    (5 BE)

  • Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(\displaystyle g \colon x \mapsto x \cdot e^{-2x}\,\).

    Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem der Graph von \(g\) eine waagrechte Tangente hat.

    (5 BE)

  • Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die die angegebene Eigenschaft besitzt.

    Der Graph der Funktion \(f\) hat den Hochpunkt \((0|5)\,\).

    (2 BE)

  • Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von \(G_f\).

    (zur Kontrolle: \(f'(x) = 2e^{-0{,}5x^2} \cdot (1 - x^2)\,\); y-Koordinate des Hochpunkts: \(\frac{2}{\sqrt{e}}\))

    (6 BE)

  • Im Folgenden wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_c \colon x \mapsto f(x) + c\) mit \(c \in \mathbb R\) betrachtet.

    Geben Sie in Abhängigkeit von \(c\) ohne weitere Rechnung die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von \(g_c\) sowie das Verhalten von \(g_c\) für \(x \to + \infty\) an.

    (2 BE)

  • Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von \(G_f\,\).

    (8 BE)

  • Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\).

    Skizzieren Sie in Abbildung 1 den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_1^x f(t)\,dt\). Berücksichtigen Sie dabei mit jeweils angemessener Genauigkeit insbesondere die Nullstellen und Extremstellen von \(F\) sowie \(F(0)\).

    Abbildung 1Abb. 1

    (6 BE)

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Mathematik Abiturvorbereitung Bayern

 2023 Christian Rieger・mathelike