Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = e^{2x + 1}\). Zeigen Sie, dass \(f\) umkehrbar ist, und ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von \(f\).

(4 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch die \(x\)-Koordinaten der beiden Extrempunkte von \(G_{f}\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = (x^{2} - 2x - 1) \cdot e^{-x}\))

(4 BE)

Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{e^{x}}{e^{x} + 1}\). Ihr Graph wird mit \(G_{g}\) bezeichnet.

Zeigen Sie, dass \(g\) streng monoton zunehmen ist und die Wertemenge \(]0;1[\) besitzt.

(zur Kontrolle: \(g'(x) = \dfrac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^{2}}\))

(5 BE)

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_a\) mit \(f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3\) und \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\).

Zeigen Sie, dass \(f'_a(0) = -a\) gilt.

(1 BE)

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_a\) mit \(f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3\) und \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\).

Zeigen Sie, dass \(f'_a(0) = -a\) gilt.

(1 BE)

Bestimmen Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \left( 1 - x^2 \right) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}\))

(2 BE)

Geben Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von \(f\) an.

(2 BE) 

Der Punkt \(W\Big(-2\Big|2e^{-\frac{1}{2}}\Big)\) ist einer der beiden Wendepunkte von \(G_f\). Die Tangente an \(G_f\) im Punkt \(W\) wird mit \(w\) bezeichnet. Ermitteln Sie eine Gleichung von \(w\) und berechnen Sie die Stelle, an der \(w\) die \(x\)-Achse schneidet.

(zur Kontrolle: \(f'(x) = -\frac{1}{2}x \cdot e^{-\frac{1}{8}x^2}\,\))

(5 BE) 

Es gibt einen Wert von \(c\), für den der Flächeninhalt \(A(c)\) des Rechtecks \(PQRS\) maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von \(c\).

(4 BE) 

Im Modell gibt es einen Zeitpunkt \(x_M\), zu dem die Blumen am schnellsten wachsen. Bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert für \(x_M\). Ermitteln Sie anschließend einen Näherungswert für die maximale Wachstumsrate in Zentimetern pro Tag.

(5 BE)

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die \(G_f\) mit den Koordinatenachsen und der Geraden \(x = 4\) einschließt.

(4 BE)

Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms von \(f\), dass \(\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f(x) = 0\) und \(\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f(x) = 2\) gilt.

(2 BE)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass \(G_f\) in \(\mathbb R\) streng monoton steigt.

(zur Kontrolle: \(f'(x)= \displaystyle \frac{18e^x}{(e^x + 9)^2}\))

(3 BE)

Geben Sie das Verhalten von \(g\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\) an.

(2 BE)

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f : x \mapsto 6 \cdot e^{-0{,}5x} + x\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

Untersuchen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von \(G_f\). Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts \(E(x_E|y_E)\) von \(G_f\).

(zur Kontrolle: \(x_E = 2 \cdot \ln 3; \enspace f''(x) = 1{,}5 \cdot e^{-0{,}5x}\))

(10 BE)

Gegeben ist die Schar der Funktionen \(f_a : x \mapsto 6 \cdot e^{-0{,}5x} - a \cdot x\) mit \(a \in \mathbb R^+\) und Definitionsmenge \(\mathbb R\).

Weisen Sie nach, dass die Graphen aller Funktionen der Schar die \(y\)-Achse im selben Punkt schneiden und in \(\mathbb R\) streng monoton fallend sind. Zeigen Sie, dass \(\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f_a(x) = -\infty\) gilt.

(5 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von \(G_f\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = 2e^{-0{,}5x^2} \cdot (1 - x^2)\,\); y-Koordinate des Hochpunkts: \(\frac{2}{\sqrt{e}}\))

(6 BE)

Im betrachteten Zeitraum gibt es ein jahr, in dem die Geburtenziffer am stärksten abnimmt. Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert für dieses Jahr an. Beschreiben Sie, wie man auf der Grundlage des Modells rechnerisch nachweisen könnte, dass die Abnahme der Geburtenziffer von diesem Jahr an kontinuierlich schwächer wird.

(3 BE)

Bestimmen Sie einen Näherungswert \(x_1\) für die \(x\)-Koordinate dieses Schnittpunkts, indem Sie für die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(d \colon x \mapsto g(x) - h(x)\) den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert \(x_0 = 1\) durchführen.

(4 BE)