Gleichung einer Gerade / Strecke in Parameterform

Sonnenlicht, das an einem Sommertag zu einem bestimmten Zeitpunkt \(t_{0}\) auf die Sonnenuhr einfällt, wird im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -13 \end{pmatrix}\) dargestellt.

Weisen Sie nach, dass der Schatten der im Modell durch den Punkt \(S\) dargestellten Spitze des Polstabs außerhalb der rechteckigen Grundplatte liegt.

(6 BE)

Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(A\,(0|1|2)\) und \(B\,(2|5|6)\).

Zeigen Sie, dass die Punkte \(A\) und \(B\) den Abstand 6 haben.

Die Punkte \(C\) und \(D\) liegen auf \(g\) und haben von \(A\) jeweils den Abstand 12. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(C\) und \(D\).

(3 BE)

Durch die Punkte \(A\) und \(B\) verläuft die Gerade \(g\).

Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen I und II gelten:

I  Jede dieser Geraden schneidet die Gerade \(g\) orhogonal.

II Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt \(A\) beträgt 3.

Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden.

(3 BE)

Durch die Punkte \(A\) und \(B\) verläuft die Gerade \(g\).

Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen I und II gelten:

I  Jede dieser Geraden schneidet die Gerade \(g\) orhogonal.

II Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt \(A\) beträgt 3.

Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden.

(3 BE)

Kurze Zeit später legt sich ein Torhüter den Ball für einen Abstoß bereit. Der Abstoß soll von der Kamera aufgenommen werden. Durch das gleichzeitige Verlängern beziehungsweise Verkürzen der vier Seile wird die Kamera entlang einer geraden Bahn zu einem Zielpunkt bewegt, der in einer Höhe von 10 m über dem Spielfeld liegt. Im Modell wird der Zielpunkt durch den Punkt \(K_{2}\) beschrieben, die Bewegung der Kamera erfolgt vom Punkt \(K_{1}\) entlang der Geraden mit der Gleichung \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{K_{1}} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 20 \\ 2 \end{pmatrix}, \, \lambda \in \mathbb R\), zum Punkt \(K_{2}\).

Bestimmen Sie die Koordinaten von \(K_{2}\).

(Ergebnis: \(K_{2}(51|100|10)\))

(3 BE)

Gegeben sind die Punkte \(A(2|1|-4)\), \(B(6|1|-12)\) und \(C(0|1|0)\).

Weisen Sie nach, dass der Punkt \(C\) auf der Geraden \(AB\), nicht aber auf der Strecke \([AB]\) liegt.

(3 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Symmetrieachse \(g\) des Dreiecks \(CDS\).

(2 BE)

Die Gerade \(g\) berührt die Kugel im Punkt \(B(-3|8|2)\). Ermitteln Sie eine mögliche Gleichung von \(g\).

(2 BE)

Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R\) ist eine Gerade \(g_{a}\) gegeben durch \(g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ a - 4 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\).

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \(a\) die Koordinaten des Punkts, in dem \(g_{a}\) die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene schneidet.

(2 BE)

Gegeben Sind die Punkte \(A(0|0|0)\), \(B(3|-6|6)\) und \(F(2|-4|4)\) sowie die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\).

Die Gerade \(h\) verläuft durch die Punkte \(A\) und \(B\). Zeigen Sie, dass sich \(g\) und \(h\) im Punkt \(F\) senkrecht schneiden.

(4 BE)

Die untere Netzkante berührt die Plattform 2 an der Seite, die durch die Strecke \([RT]\) dargestellt wird. Betrachtet wird der untere Eckpunkt des Netzes, der oberhalb der Plattform 2 befestigt ist. Im Modell hat dieser Eckpunkt die Koordinaten \((5|10|h)\) mit einer reellen Zahl \(h > 3\). Die untere Netzkante liegt auf der Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ h - 2 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\,\).

Berechnen Sie den Abstand des betrachteten Eckpunkts von der Plattform 2.

(5 BE)

Der Bohrkanal wird geradlinig verlängert und verlässt die wasserführende Gesteinsschicht in einer Tiefe von 3600 m unter der Erdoberfläche. Die Austrittsstelle wird im Modell als Punkt \(R\) auf der Geraden \(PQ\) beschrieben. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(R\) und ermitteln Sie die Dicke der wasserführenden Gesteinsschicht auf Meter gerundet.

(zur Kontrolle: \(x_{1}\)- und \(x_{2}\)-Koordinate von \(R\): \(1{,}04\))

(6 BE)

Ein zweiter Bohrkanal wird benötigt, durch den das entnommene Wasser abgekühlt zurück in die wasserführende Gesteinsschicht geleitet wird. Der Bohrkanal soll geradlinig und senkrecht zur Erdoberfläche verlaufen. Für den Beginn des Bohrkanals an der Erdoberfläche kommen nur Bohrstellen in Betracht, die im Modell durch einen Punkt \(B(t|-t|0)\) mit \(t \in \mathbb R\) beschrieben werden können.

Zeigen Sie rechnerisch, dass der zweite Bohrkanal die wasserführende Gesteinsschicht im Modell im Punkt \(T(t|-t|-4{,}3)\) erreicht, und erläutern Sie, wie die Länge des zweiten Bohrkanals bis zur wasserführenden Gesteinsschicht von der Lage der zugehörigen Bohrstelle beeinflusst wird.

(3 BE)

Für \(a \in \mathbb R^{+}\) ist die Gerade \(g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 0 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10a \\ \frac{2}{a} \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\) gegeben.

Bestimmen Sie den Wert von \(a\), sodass die Gerade \(g_{a}\) die Würfelfläche \(CDHG\) in ihrem Mittelpunkt schneidet.

(3 BE)

Der Punkt \(T(7|10|0)\) liegt auf der Kante \([A_{3}A_{4}]\). Untersuchen Sie rechnerisch, ob es Punkte auf der Kante \([B_{3}B_{4}]\) gibt, für die gilt: Die Verbindungsstrecken des Punktes zu den Punkten \(B_{1}\) und \(T\) stehen aufeinander senkrecht. Geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten dieser Punkte an.

(6 BE)

Die Abbildung 2 zeigt den Grundriss des Hallenmodells in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Stellen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse den Schattenbereich der Flutlichtanlage in der Abbildung exakt dar.

(4 BE)

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Ebene \(E \colon 4x_{1} - 8x_{2} + x_{3} + 50 = 0\) und die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\,.\)

Erläutern Sie, warum die folgende Rechnung ein Nachweis dafür ist, dass \(g\) und \(E\) genau einen gemeinsamen Punkt haben:

\[\begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix} = -72 \neq 0\]

(1 BE)

Gegeben ist die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb R\), sowie eine weitere Gerade \(h\), welche parallel zu \(g\) ist und durch den Punkt \(A(2|0|0)\) verläuft. Der Punkt \(B\) liegt auf \(g\) so, dass die Geraden \(AB\) und \(h\) senkrecht zueinander sind.

Bestimmen Sie die Koordinaten von \(B\).

(zur Kontrolle: \(B(-2|3|2)\))

(4 BE)

Mit einem Lasermessgerät soll ein Verkehrsschild angepeilt werden. Diese Situation wird modellhaft in einem Koordinatensystem dargestellt. Der Ausgangspunkt des Laserstrahls wird durch den Punkt \(P(104|-42|10)\) beschrieben, seine Richtung durch den Vektor \(\begin{pmatrix} -13 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\). Das Verkehrsschild wird durch eine Kreisscheibe repräsentiert, die in der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene liegt und den Mittelpunkt \(M(0|0|20)\) sowie den Radius 3 hat.

Untersuchen Sie, ob der Laserstrahl auf das Verkehrsschild trifft.

(5 BE)

Ein auf einer Stange montierter Brunnen besteht aus einer Marmorkugel, die in einer Bronzeschale liegt. Die Marmorkugel berührt die vier Innenwände der Bronzeschale an jeweils genau einer Stelle. Die Bronzeschale wird im Modell durch die Seitenflächen der Pyramide \(ABCDS\) beschrieben, die Marmorkugel durch eine Kugel mit Mittelpunkt \(M(0|0|4)\) und Radius \(r\). Die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene des Koordinatensystems stellt im Modell den horizontal verlaufenden Erdboden dar; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Ermitteln Sie den Durchmesser der Marmorkugel auf Zentimeter genau.

(zur Kontrolle: \(r = \sqrt{6}\))

(4 BE)