Skalarprodukt

Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene \(F\) in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: \(F \colon x_{1} + x_{2} - 2x_{3} + 2 = 0\))

(3 BE)

Abb. 1

Der in Abbildung 1 dargestellte Körper wird begrenzt von der quadratischen Grundfläche \(ABCD\) mit \(A(5|5|0)\), \(B(-5|5|0)\), \(C(-5|-5|0)\) und \(D(5|-5|0)\), acht dreieckigen Seitenflächen und einem weiteren Quadrat \(EFGH\) mit \(E(2|0|4)\), \(F(0|2|4)\), \(G(-2|0|4)\) und \(H(0|-2|4)\). Der Mittelpunkt \(S\) des Quadrats \(ABCD\) ist der Ursprung des Koordinatensystems und der gesamte Körper ist symmetrisch sowohl bezüglich der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene als auch bezüglich der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene.

Zeigen Sie, dass das Dreieck \(ABF\) bei \(F\) rechtwinklig ist.

(2 BE)

Das Dreieck \(ABF\) liegt in der Ebene \(W\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(W\) in Koordinatenform und beschreiben Sie die besondere Lage von \(W\) im Koordinatensystem.

(zur Kontrolle: \(W \colon 4x_{2} + 3x_{3} - 20 = 0\))

(4 BE)

Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, den die Seitenfläche \(ABF\) und die Grundfläche \(ABCD\) einschließen.

(3 BE)

Gegeben sind die Punkte \(P(4|5|-19)\), \(Q(5|9|-18)\) und \(R(3|7|-17)\), die in der Ebene \(E\) liegen, sowie die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -12 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\).

Bestimmen Sie die Länge der Strecke \([PQ]\). Zeigen Sie, dass das Dreieck \(PQR\) bei \(R\) rechtwinklig ist, und begründen Sie damit, dass die Strecke \([PQ]\) Durchmesser des Umkreises des Dreiecks \(PQR\) ist.

(zur Kontrolle: \(\overline{PQ} = 3\sqrt{2}\))

(4 BE)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Meeresboden gegenüber der Wasseroberfläche abfällt.

(3 BE)

Ein Fotograf soll für ein Reisemagazin Unterwasserfotos aufnehmen.

Der Fotograf schwimmt entlang der kürzestmöglichen Strecke von der Uferlinie aus zur Boje. Ermitteln Sie die Länge dieser Strecke.

(4 BE)

Der Punkt \((0|0|h)\) liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken \([AB]\), \([BC]\) und \([CD]\) den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von \(h\):

Erläutern Sie die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von \(h\) zugrunde liegen.

(4 BE)

Gegeben ist die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\).

Zeigen Sie, dass \(g\) in der Ebene mit der Gleichung \(x_1 + x_2 + x_3 = 2\) liegt.

(2 BE) 

Bestimmen Sie eine Gleichung von \(L\) in Koordinatenform sowie die Größe \(\varphi\) des Winkels, den \(L\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt.

(zur Kontrolle: \(x_1+x_2+x_3-19= 0; \enspace \varphi \approx 55^{\circ}\))

(6 BE) 

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den \(L\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt.

(3 BE) 

Auf der Kante \([AD]\) liegt der Punkt \(Q\), auf der Kante \([BE]\) der Punkt \(R(0|6|2)\). Das Dreieck \(FQR\) hat in \(Q\) einen rechten Winkel. Bestimmen Sie die \(x_3\)-Koordinate von \(Q\).

(5 BE) 

Der Körper wird so um die Gerade \(AB\) gedreht, dass der mit \(D\) bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt und dabei eine positive \(x_2\)-Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der Drehung:

\(\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] = 0 \; \Leftrightarrow \; \lambda = 0{,}8\), d. h. \(S(4{,}8|3{,}6|0)\)

\(\overrightarrow{T} = \overrightarrow{S} + \vert \overrightarrow{CS} \vert \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und geben Sie die Bedeutung von \(S\) an.

(3 BE) 

Der Umkreis des Dreiecks \(ABC\) und der Punkt \(S\) legen einen Kegel fest. Zeigen Sie, dass es sich um einen geraden Kegel handelt, der Mittelpunkt des Grundkreises also zugleich der Höhenfußpunkt des Kegels ist. Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Kegels größer ist als das Volumen der Pyramide \(ABCS\).

(7 BE)

Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Fenster bei seiner Drehung am Möbelstück anstoßen kann.

(5 BE)

Das Dreieck \(ABC\) aus Aufgabe \(a\) ist die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide \(ABCS\) mit der Spitze \(S(11{,}5|4|-6)\).

Die Grundfläche der Pyramide liegt in einer Ebene \(E\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E\colon \enspace 2x_1 + x_2 -2x_3 - 3 = 0)\)

(3 BE)

Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\) sowie das Volumen \(V\) der Pyramide.

(Teilergebnis: \(V = 216\))

(7 BE)

Alle Punkte \(C^\ast\) im Raum, die zusammen mit \(A\) und \(B\) ein zum Dreieck \(ABC\) kongruentes Dreieck festlegen, bilden zwei gleich große Kreise. Beschreiben Sie (z.B. durch eine Skizze) die Lage der beiden Kreise bezüglich der Strecke \([AB]\) und ermitteln Sie den Radius der beiden Kreise.

(6 BE)

Zeigen Sie, dass dieser Abstand mit der minimalen Entfernung des Hubschraubers vom Mittelpunkt des Grundstücks übereinstimmt, der im Modell durch den Punkt \(M(-40|30|30)\) dargestellt wird.

(5 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A\,(1|7|3)\), \(B\,(6|-7|1)\) und \(C\,(-2|1|-3)\) gegeben.

Weisen Sie nach, dass die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) ein rechtwinkliges Dreieck festlegen, dessen Hypothenuse die Strecke \([AB]\) ist und dessen kürzere Kathete die Länge 9 hat.

(4 BE)