waagrechte Asymptote

Die Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \([0{,}8; +\infty[\) definierten Funktion f.

Betrachtet wird zudem die in \([0{,}8; +\infty[\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle J \colon x \mapsto \int_{2}^{x} f(t) dt\).

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2, dass \(J(1) \approx -1\) gilt, und geben Sie einen Näherungswert für den Funktionswert \(J(4{,}5)\) an. Skizzieren Sie den Graphen von \(J\) in der Abbildung 2.

(5 BE)

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\); die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen \(G_{f}\).

Bestätigen Sie rechnerisch, dass \(G_{f}\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist, und untersuchen Sie anhand des Funktionsterms das Verhalten von \(f\) für \(x \to +\infty\). Bestimmen Sie diejenigen \(x\)-Werte, für die \(f(x) = 0{,}96\) gilt.

(5 BE)

Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{-2;2\}\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{6x}{x^{2} - 4}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet und ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Geben Sie die Gleichungen aller senkrechter Asymptoten von \(G_{f}\) an. Begründen Sie, dass \(G_{f}\) die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote besitzt.

(3 BE)

Die Punkte \(A(3|3{,}6)\) und \(B(8|0{,}8)\) liegen auf \(G_{f}\); zwischen diesen beiden Punkten verläuft \(G_{f}\) unterhalb der Strecke \([AB]\).

Skizzieren Sie \(G_{f}\) im Bereich \(-10 \leq x \leq 10\) unter Verwendung der bisherigen Informationen in einem Koordinatensystem.

(4 BE)

Skizzieren Sie in die Abbildung den Graphen von \(F\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere, dass \(F(1) \approx 3{,}5\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} F(x) = 2\) gilt.

(3 BE)

Geben Sie \(g'(0)\) an un zeichnen Sie \(G_{g}\) im Bereich \(-4 \leq x \leq 4\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse und der Tatsache, dass \(G_{g}\) in \(W(0|g(0))\) seinen einzigen Wendepunkt hat, in ein Koordinatensystem ein.

(3 BE)

Geben Sie einen Term einer gebrochen-rationalen Funktion an, die die folgenden Eigenschaften hat: Die Funktion \(h\) ist in \(\mathbb R\) definiert; ihr Graph besitzt die Gerade mit der Gleichung \(y = 3\) als waagrechte Asymptote und schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0|4)\).

(3 BE)

Gegeben ist die Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{2x^2}{x^2 - 9}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_g\).

Geben Sie \(D_g\) sowie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\) an.

(2 BE)

Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{0\}\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{x^2} - 1\).

Geben Sie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\) sowie die Wertemenge von \(g\) an.

(2 BE) 

(4 BE)

Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion \(f\) mit Definitionsmenge \(\mathbb R \backslash \{-1\}\) an, deren Graph die Gerade mit der Gleichung \(y = 2\) als Asymptote besitzt und in \(x = -1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel hat.

(3 BE)

Im Folgenden wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_c \colon x \mapsto f(x) + c\) mit \(c \in \mathbb R\) betrachtet.

Geben Sie in Abhängigkeit von \(c\) ohne weitere Rechnung die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von \(g_c\) sowie das Verhalten von \(g_c\) für \(x \to + \infty\) an.

(2 BE)

Welche künftige Entwicklung der Bevölkerungszahl ist auf der Grundlage des Modells zu erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort.

(2 BE)

Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge \(\mathbb W\) hat.

\(\mathbb W = [-2;2]\)

(2 BE)