Tangente an den Graphen einer Funktion

Die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(Q_{a}\) wird mit \(t_{a}\) bezeichnet. Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von \(a \in \mathbb R\), für den \(t_{a}\) durch \(P\) verläuft.

(3 BE)

Betrachtet werden eine in \(\mathbb R\) definierte ganzrationale Funktion \(p\) und der Punkt \(Q(2|p(2))\).

Beschreiben Sie, wie man rechnerisch die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(p\) im Punkt \(Q\) ermitteln kann.

(2 BE)

Die Punkte \(A(3|3{,}6)\) und \(B(8|0{,}8)\) liegen auf \(G_{f}\); zwischen diesen beiden Punkten verläuft \(G_{f}\) unterhalb der Strecke \([AB]\).

Skizzieren Sie \(G_{f}\) im Bereich \(-10 \leq x \leq 10\) unter Verwendung der bisherigen Informationen in einem Koordinatensystem.

(4 BE)

Ermitteln Sie grafisch diejenige Stelle \(x_0 \in \mathbb R^+\), für die gilt: Die lokale Änderungsrate von \(g\) an der Stelle \(x_0\) stimmt mit der mittleren Änderungsrate von \(g\) im Intervall \([1;4]\) überein.

(3 BE)

Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von \(f_a\) im Punkt \((0|f_a (0))\). Bestimmen Sie diejenigen Werte von \(a\), für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die \(x\)-Achse in einem Punkt schneidet, dessen \(x\)-Koordinate größer als \(\dfrac{1}{2}\) ist.

(4 BE)

Zeigen Sie, dass der Graph von \(g\) in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt.

(3 BE)

Bestimmen Sie den Funktionswert von \(f\) an der Stelle 1; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in Abbildung 1.

(3 BE)

Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von \(f_a\) im Punkt \((0|f_a (0))\). Bestimmen Sie diejenigen Werte von \(a\), für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die \(x\)-Achse in einem Punkt schneidet, dessen \(x\)-Koordinate größer als \(\dfrac{1}{2}\) ist.

(4 BE)

Betrachtet wird die Tangente an \(G_f\) im Punkt \((2|f(2))\). Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die \(x\)-Achse schneidet.

(2 BE)

Gegeben ist die in \(\mathbb R_0^+\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \sqrt{x} + 1\).

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \((1|g(1))\).

(3 BE) 

Der Punkt \(W\Big(-2\Big|2e^{-\frac{1}{2}}\Big)\) ist einer der beiden Wendepunkte von \(G_f\). Die Tangente an \(G_f\) im Punkt \(W\) wird mit \(w\) bezeichnet. Ermitteln Sie eine Gleichung von \(w\) und berechnen Sie die Stelle, an der \(w\) die \(x\)-Achse schneidet.

(zur Kontrolle: \(f'(x) = -\frac{1}{2}x \cdot e^{-\frac{1}{8}x^2}\,\))

(5 BE) 

Die erste Ableitungsfunktion von \(h_k\) wird mit \(h'_k\) bezeichnet. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Es gibt genau einen Wert von \(k\), für den der Graph von \(h'_k\) Tangente an den Graphen von \(h_k\) ist.

(6 BE) 

(4 BE)

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an \(G_f\) im Achsenschnittpunkt \(S\).

(Ergebnis: \(y = 0{,}18x + 0{,}2\))

(2 BE)

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(h\) im Punkt \((1|h(1))\,\).

(4 BE)

Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate \(m_S\) von \(f\) im Intervall \([-0{,}5; 0{,}5]\) sowie die lokale Änderungsrate \(m_T\) an der Stelle \(x = 0\). Berechnen Sie, um wie viel Prozent \(m_S\) von \(m_T\) abweicht.

(4 BE)

Skizzieren Sie den Graphen von \(F\) in Abbildung 1.

(2 BE)

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \(P\,(0|3)\).

(4 BE)