Integralfunktion

Die Abbildung zeigt eine nach unten geöffnete Parabel, die zu einer Funktion \(f\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R\) gehört. Der Scheitel der Parabel hat die \(x\)-Koordinate 3.

Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{3}^{x}f(t) dt\).

Wie viele Nullstellen hat \(F\)?. Machen Sie Ihre Antwort ohne Rechnung plausibel.

(4 BE)

Im Folgenden wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F_{1}\) mit \(\displaystyle F_{1}(x) = \int_{1}^{x} f(t) dt\) betrachtet.

\(F_{1}\) hat für \(0 \leq x \leq 10\) zwei ganzzahlige Nullstellen. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre Angabe.

(3 BE)

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 1, dass \(F_{1}\) mindestens eine weitere positive Nullstelle hat.

(2 BE)

Begründen Sie, dass \(F_{1}\) höchstens vier Nullstellen hat.

(2 BE)

Die Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \([0{,}8; +\infty[\) definierten Funktion f.

Betrachtet wird zudem die in \([0{,}8; +\infty[\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle J \colon x \mapsto \int_{2}^{x} f(t) dt\).

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2, dass \(J(1) \approx -1\) gilt, und geben Sie einen Näherungswert für den Funktionswert \(J(4{,}5)\) an. Skizzieren Sie den Graphen von \(J\) in der Abbildung 2.

(5 BE)

Nun wird die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{0}^{x}f(t)dt\) betrachtet; ihr Graph wird mit \(G_{F}\) bezeichnet.

Begründen Sie, dass \(F\) in \(x = 0\) eine Nullstelle hat, und machen Sie mithilfe des Verlaufs von \(\mathbf{G_{f}}\) plausibel, dass im Intervall \([1;3]\) eine weitere Nullstelle von \(F\) liegt.
Geben Sie an, welche besondere Eigenschaft \(G_{F}\) im Punkt \((-1|F(-1))\) hat, und begründen Sie Ihre Angabe.

(5 BE)

Es wird das Flächenstück zwischen \(G_{g}\) und der \(x\)-Achse im Bereich \(-\ln{3} \leq x \leq b\) mit \(b \in \mathbb R^{+}\) betrachtet. Bestimmen Sie den Wert von \(b\) so. dass die \(y\)-Achse dieses Flächenstück halbiert.

(6 BE)

Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) an, sodass die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{-1}^x f(t)\,dt\) genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie die Nullstellen von \(F\) an.

(3 BE)

Warum hat jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle?

(1 BE)

Abb. 1

Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) der Funktion \(f\) mit Definitionsbereich \([-2;2]\). Der Graph besteht aus zwei Halbkreisen, die die Mittelpunkte \((-1|0)\) bzw. \((1|0)\) sowie jeweils den Radius 1 besitzen. Betrachtet wird die in \([-2;2]\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon \mapsto \int_0^x f(t)\,dt\).

Geben Sie \(F(0)\), \(F(2)\) und \(F(-2)\) an.

(3 BE)

Skizzieren Sie den Graphen von \(F\) in Abbildung 1.

(2 BE)

(6 BE)