Prüfungsteil A

Gegeben ist eine Bernoullikette mit der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\). Erklären Sie, dass für alle \(k \in \{0; 1; 2; \dots; n\}\) die Beziehung \(B(n; p; k) = B(n; 1 - p; n - k)\) gilt. 

(2 BE)

Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit „0" beschriftet, einer mit „1" und einer mit „2"; die beiden anderen Sektoren sind mit „9" beschriftet.

Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen 2, 0, 1 und 9 in der angegebenen erzielt werden.

(2 BE)

Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens 11 beträgt.

(3 BE)

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit dem Parameterwert \(n = 5\). Dem Diagramm in Abbildung 1 kann man die Wahrscheinlichkeitswerte \(P(X \leq k)\) mit \(k \in \{0; 1; 2; 3; 4\}\) entnehmen.

Ergänzen Sie den zu \(k = 5\) gehörenden Wahrscheinlichkeitswert im Diagramm. Ermitteln Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 2)\).

Abb. 1

(2 BE)

Das Baumdiagramm in Abbildung 2 gehört zu einem Zufallsexperiment mit den stochastisch unabhängigen Ereignissen \(A\) und \(B\). Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(B\).

Abb. 2

(3 BE)

Gegeben ist ein Rechteck \(ABCD\) mit den Eckpunkten \(A(5|-4|-3)\), \(B(5|4|3)\), \(C(0|4|3)\) und \(D\).

Ermitteln Sie die Koordinaten von \(D\) und geben Sie die Koordinaten des Mittelpunkts \(M\) der Strecke \([AC]\) an.

(3 BE)

Begründen Sie, dass die Dreiecke \(BCM\) und \(ABM\) den gleichen Flächeninhalt besitzen, ohne diesen zu berechnen.

(2 BE)

Die Ebene \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\) enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten.

(2 BE)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist: Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

(3 BE)

Gegeben sind die beiden Kugeln \(k_{1}\) mit Mittelpunkt \(M_{1}(1|2|3)\) und Radius \(5\) sowie \(k_{2}\) mit Mittelpunkt \(M_{2}(-3|-2|1)\) und Radius \(5\).

Zeigen Sie, dass sich \(k_{1}\) und \(k_{2}\) schneiden.

(2 BE)

Die Schnittfigur von \(k_{1}\) und \(k_{2}\) ist ein Kreis. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius dieses Kreises.

(3 BE)

Die Ebene \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\) enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten.

(2 BE)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist: Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

(3 BE)

Gegeben ist die Funktion \(h \colon x \mapsto x \cdot \ln{(x^{2})}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D_{h}\).

Geben Sie \(D_{h}\) an und zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion \(h'\) gilt: \(h'(x) = \ln{(x^{2})} + 2\).

(2 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten des im II. Quadranten liegenden Hochpunkts des Graphen von \(h\).

(3 BE)

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f'}\) der Ableitungsfunktion \(f'\) einer in \(\mathbb R\) definierten ganzrationalen Funktion \(f\). Nur in den Punkten \((-4|f'(-4))\) und \((5|f'(5))\) hat der Graph \(G_{f'}\) waagrechte Tangenten.

Begründen Sie, dass \(f\) genau eine Wendestelle besitzt. 

(2 BE)

Es gibt Tangenten an den Graphen von \(f\), die parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten sind. Ermitteln Sie anhand des Graphen \(\mathbf{G_{f'}}\) der Ableitungsfunktion \(f'\) in der Abbildung 1 Näherungswerte für die \(x\)-Koordinaten derjenigen Punkte, in denen der Graph von \(f\) jeweils eine solche Tangente hat.

(2 BE)

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f \colon x \mapsto x^{2} + 4\) und \(g_{m} \colon x \mapsto m \cdot x\) mit \(m \in \mathbb R\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) und der Graph von \(g_{m}\) mit \(G_{m}\) bezeichnet.

Skizzieren Sie \(G_{f}\) in einem Koordinatensystem. Berechnen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punkts der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{4}\).

(3 BE)

Es gibt Werte von \(m\), für die die Graphen \(G_{f}\) und \(G_{m}\) jeweils keinen gemeinsamen Punkt haben. Geben Sie diese Werte von \(m\) an.

(2 BE)

Gegeben ist die Funktion \(g\) mit \(g(x) = 0{,}7 \cdot e^{0{,}5x} - 0{,}7\) und \(x \in \mathbb R\). Die Funktion \(g\) ist umkehrbar. Die Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{g}\) von \(g\) sowie einen Teil des Graphen \(G_{h}\) der Umkehrfunktion \(h\) von \(g\).

Zeichnen Sie in die Abbildung 2 den darin fehlenden Teil von \(G_{h}\) ein.

(2 BE)