Prüfungsteil B

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P_{\overline{V}}(R)\).

(3 BE)

Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms \(1 - P_{\overline{V}}(R)\) im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Bei einer Werbeaktion werden den Fruchtgummitüten Rubbellose beigelegt. Beim Freirubbeln werden auf dem Los bis zu drei Goldäpfel sichtbar. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Goldäpfel, die beim Freirubbeln sichtbar werden. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\).

Die Zufallsgröße \(X\) hat den Erwartungswert 1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten \(p_{0}\) und \(p_{1}\) und berechnen Sie die Varianz von \(X\).

(3 BE)

Ohne Kenntnis des Erwartungswerts ist die Varianz in der Regel nicht aussagekräftig. Daher wird für den Vergleich verschiedener Zufallsgrößen oft der Quotient aus der Standardabweichung und dem Erwartungswert betrachtet, der als relative Standardabweichung bezeichnet wird.

Die Zufallsgröße \(Y_{n}\) beschreibt die Anzahl der Goldäpfel, die beim Freirubbeln von \(n\) Losen sichtbar werden. Es gilt \(E(Y_{n}) = n\) und \(Var(Y_{n}) = n\). Bestimmen Sie den Wert von \(n\), für den die relative Standardabweichung 5 % beträgt.

(2 BE)

Die Punkte \(A(6|0|4)\), \(B(0|6|4)\), \(C(-6|0|4)\) und \(D\) liegen in der Ebene \(E\) und bilden die Eckpunkte der quadratischen Grundfläche einer Pyramide \(ABCDS\) mit der Spitze \(S(0|0|1)\). \(A\), \(B\) und \(S\) liegen in der Ebene \(F\).

Zeigen Sie rechnerisch, dass das Dreieck \(ABS\) gleichschenklig ist. Geben Sie die Koordinaten des Punkts \(D\) an und beschreiben Sie die besondere Lage der Ebene \(E\) im Koordinatensystem.

(4 BE)

Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(h_k\) mit \(h_k(x) = (x - 3)^k + 1\) und \(k \in \{1;2;3;\dots\}\).

Geben Sie in Abhängigkeit von \(k\) das Verhalten von \(h_k\) für \(x \to -\infty\) an und begründen Sie Ihre Angabe.

(3 BE) 

Geben Sie den maximalen Definitionsbereich des Terms \(f'(x) = \dfrac{10 - 2x}{\sqrt{10x - x^2}}\) an. Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,0}f'(x)\) und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

(4 BE)

Ein auf einer Stange montierter Brunnen besteht aus einer Marmorkugel, die in einer Bronzeschale liegt. Die Marmorkugel berührt die vier Innenwände der Bronzeschale an jeweils genau einer Stelle. Die Bronzeschale wird im Modell durch die Seitenflächen der Pyramide \(ABCDS\) beschrieben, die Marmorkugel durch eine Kugel mit Mittelpunkt \(M(0|0|4)\) und Radius \(r\). Die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene des Koordinatensystems stellt im Modell den horizontal verlaufenden Erdboden dar; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Ermitteln Sie den Durchmesser der Marmorkugel auf Zentimeter genau.

(zur Kontrolle: \(r = \sqrt{6}\))

(4 BE)

Weisen Sie nach, dass der höchste Punkt des Brunnens ca. 64 cm über dem Erdboden liegt.

(2 BE)

Auf der Oberfläche der Marmorkugel treten an vier Stellen Wasserfontänen aus. Eine dieser Austrittsstellen wird im Modell durch den Punkt \(L_{0}(1|1|6)\) beschrieben. Die zugehörige Fontäne wird modellhaft durch Punkte \(L_{t}\left(t + 1|t + 1|6{,}2 - 5 \cdot (t - 0{,}2)^{2}\right)\) mit geeigneten Werten \(t \in \mathbb R_{0}^{+}\) beschrieben.

Der Punkt \(P\) liegt innerhalb des Dreiecks \(ABS\) und beschreibt im Modell die Stelle, an der die Fontäne auf die Bronzeschale trifft (vgl. Abbildung). Bestimmen Sie die Koordinaten von \(P\).

(4 BE)

Untersuchen Sie, ob der höchste Punkt der Wasserfontäne höher liegt als der höchste Punkt des Brunnens.

(2 BE)

Aus den vier Austrittsstellen fließen pro Sekunde insgesamt 80 mi Wasser in die Bronzeschale. Bestimmen Sie die Zeit in Sekunden, die vergeht, bis der anfangs leere Brunnen vollständig mit Wasser gefüllt ist.

(4 BE)

Abb. 1

Der in Abbildung 1 dargestellte Körper wird begrenzt von der quadratischen Grundfläche \(ABCD\) mit \(A(5|5|0)\), \(B(-5|5|0)\), \(C(-5|-5|0)\) und \(D(5|-5|0)\), acht dreieckigen Seitenflächen und einem weiteren Quadrat \(EFGH\) mit \(E(2|0|4)\), \(F(0|2|4)\), \(G(-2|0|4)\) und \(H(0|-2|4)\). Der Mittelpunkt \(S\) des Quadrats \(ABCD\) ist der Ursprung des Koordinatensystems und der gesamte Körper ist symmetrisch sowohl bezüglich der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene als auch bezüglich der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene.

Zeigen Sie, dass das Dreieck \(ABF\) bei \(F\) rechtwinklig ist.

(2 BE)

Um 07:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Es gibt einen anderen Zeitpunkt, zu dem der Stau die gleiche Länge hat. Markieren Sie diesen Zeitpunkt in der Abbildung 2, begründen Sie Ihre Markierung und veranschaulichen Sie Ihre Begründung in der Abbildung 2.

(3 BE) 

Berechnen Sie die Zunahme der Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr und bestimmen Sie für diesen Zeitraum die mittlere Änderungsrate der Staulänge.

(3 BE) 

Auf der Strecke \([DE]\) gibt es einen Punkt \(K\), für den \(\overline{KE} = \overline{EF}\) gilt.

Bestimmen Sie die Koordinaten von \(K\).

(4 BE)

\(N(1{,}6|0|3{,}2)\) ist der Mittelpunkt der Strecke \([KF]\). Begründen Sie, dass die Gerade \(EN\) den Innenwinkel des Dreiecks \(DFE\) bei \(E\) halbiert, und weisen Sie rechnerisch nach, dass \(S\) auf der Geraden \(EN\) liegt.

(4 BE)

Der Körper kann in neun Pyramiden zerlegt werden, von denen jede kongruent zu genau einer der drei  Pyramiden \(ABFS\), \(HDES\) bzw. \(EFGHS\) ist (vgl. Abbildung 2). Die Pyramide \(ABFS\) hat das Volumen \(\sf{33\frac{1}{3}}\) und die Pyramide \(HDES\) hat das Volumen \(\sf{13\frac{1}{3}}\). Bestimmen Sie das Volumen des gesamten Körpers.

(4 BE)

Es gibt genau eine Kugel, auf der alle acht Eckpunkte des Körpers liegen. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts dieser Kugel.

(4 BE)

Gegeben ist die in \([0;10]\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2 \cdot \sqrt{10x -x^2}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

Bestimmen Sie die Nullstellen von \(f\).

(zur Kontrolle: \(0\) und \(10\))

(2 BE)