Prüfungsteil B

Das Dreieck \(ABC\) stellt modellhaft einen Spiegel dar. Der Punkt \(P\,(2|2|3)\) gibt im Modell die Position einer Lichtquelle an, von der ein Lichtstrahl ausgeht.

Die Richtung dieses Lichtstrahls wird im Modell durch den Vektor \(\displaystyle \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}\) beschrieben.

Geben Sie eine Gleichung der Geraden \(g\) an, entlang derer der Lichtstrahl im Modell verläuft. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts \(R\), in dem \(g\) die Ebene \(E\) schneidet, und begründen Sie, dass der Lichtstrahl auf dem dreieckigen Spiegel auftrifft.

(zur Kontrolle: \(R\,(1{,}5|1{,}5|1)\))

(5 BE)

Der einfallende Lichtstrahl wird in demjenigen Punkt des Spiegels reflektiert, der im Modell durch den Punkt \(R\) dargestellt wird. Der reflektierte Lichtstrahl geht für einen Beobachter scheinbar von einer Lichtquelle aus, deren Position im Modell durch den Punkt \(Q\,(0|0|1)\) beschrieben wird (vgl. Abbildung).

Zeigen Sie, dass die Punkte \(P\) und \(Q\) bezüglich der Ebene \(E\) symmetrisch sind.

(3 BE)

Das Lot zur Ebene \(E\) im Punkt \(R\) wird als Einfallslot bezeichnet.

Die beiden Geraden, entlang derer der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl im Modell verlaufen, liegen in einer Ebene \(F\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(F\) in Normalenform. Weisen Sie nach, dass das Einfallslot ebenfalls in der Ebene \(F\) liegt.

(mögliches Teilergebnis: \(F\,\colon\, x_1 - x_2 = 0\)) 

(5 BE)

Zeigen Sie, dass die Größe des Winkels \(\beta\) zwischen reflektiertem Lichtstrahl und Einfallslot mit der Größe des Winkels \(\alpha\) zwischen einfallendem Lichtstrahl und Einfallslot übereinstimmt.

(4 BE)

Die Abbildung zeigt modellhaft ein Einfamilienhaus, das auf einer horizontalen Fläche steht. Auf einer der beiden rechteckigen Dachflächen soll eine Dachgaube errichtet werden. Die Punkte \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(O\), \(P\), \(Q\) und \(R\) sind die Eckpunkte eines Quaders. Das gerade dreiseitige Prisma \(LMNIJK\) stellt die Dachgaube dar, die Strecke \([GH]\) den First des Dachs, d.h. die obere waagrechte Dachkante. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m, d.h. das Haus ist 10 m lang.

Berechnen Sie den Inhalt derjenigen Dachfläche, die im Modell durch das Rechteck \(BCHG\) dargestellt wird.

(2 BE)

In der Stadt, in der das Einfamilienhaus steht, gilt für die Errichtung von Dachgauben eine Satzung, die jeder Bauherr einhalten muss. Diese Satzung lässt die Errichtung einer Dachgaube zu, wenn die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche des jeweiligen Hausdachs gegen die Horizontale mindestens 35° beträgt. Zeigen Sie rechnerisch, dass für das betrachtete Einfamilienhaus die Errichtung einer Dachgaube zulässig ist.

(3 BE)

Die Dachfläche, auf der die Dachgaube errichtet wird, liegt im Modell in der Ebene \(E\,\colon\, 3x_1 + 4x_3 - 44 = 0\).

Die Dachgaube soll so errichtet werden, dass sie von dem seitlichen Rand der Dachfläche, der im Modell durch die Strecke \([HC]\) dargestellt wird, den Abstand 2 m und vom First des Dachs den Abstand 1 m hat. Zur Ermittlung der Koordinaten des Punkts \(M\) wird die durch den Punkt \(T\,(4|8|8)\) verlaufende Gerade \(\displaystyle t\,\colon\, \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb R\), betrachtet.

Begründen Sie, dass \(t\) in der Ebene \(E\) verläuft und von der Geraden \(HC\) den Abstand 2 besitzt.

(5 BE)

Auf der Geraden \(t\) wird nun der Punkt \(M\) so festgelegt, dass der Abstand der Dachgaube vom First 1 m beträgt. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(M\).

(3 BE)

Die Punkte \(M\) und \(N\) liegen auf der Geraden
\(\displaystyle \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 4{,}8 \\ 8 \\ 7{,}4 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\mu \in \mathbb R\),
die im Modell die Neigung der Dachfläche der Gaube festlegt. Die zur \(x_3\)-Achse parallele Strecke \([NL]\) stellt im Modell den sogenannten Gaubenstiel dar; dessen Länge soll 1,4 m betragen. Um die Koordinaten von \(N\) und \(L\) zu bestimmen, wird die Ebene \(F\) betrachtet, die durch Verschiebung von \(E\) um 1,4 in positive \(x_3\)-Richtung entsteht.

Begründen Sie, dass \(3x_1 + 4x_3 - 49{,}6 = 0\) eine Gleichung von \(F\) ist.

(3 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten von \(N\) und \(L\).

(Teilergebnis: \(N\,(7{,}2|8|7)\))

(4 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 3}\) und Definitionsmenge \(D_{f} = \mathbb R \, \backslash \, \{-3;-1\}\). Dr Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

Zeigen Sie, dass \(f(x)\) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist:

\(\displaystyle \frac{2}{(x + 1)(x + 3)}\); \(\displaystyle \frac{2}{x^2 + 4x + 3}\); \(\displaystyle \frac{1}{0{,}5 \cdot (x + 2)^2 - 0{,}5}\) 

(4 BE)

Begründen Sie, dass die \(x\)-Achse horizontale Asymptote von \(G_{f}\) ist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von \(G_{f}\) an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse.

(3 BE)

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(p \colon x \mapsto 0{,}5 \cdot (x + 2)^2 - 0{,}5\), die die Nullstellen \(x = -3\) und \(x = -1\) hat.

Für \(x \in D_{f}\) gilt \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{p(x)}\).

Abb. 1

Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitung \(f'\) und \(p'\) die Beziehung \(\displaystyle f'(x) = -\frac{p'(x)}{\big( p(x) \big)^2}\) für \(x \in D_{f}\).

Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von \(f'(x)\) und \(p'(x)\), dass \(x = -2\) einzige Nullstelle von \(f'\) ist und dass \(G_{f}\) in \(]-3;-2[\) streng monoton steigend sowie in \(]-2;1[\) streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\) an.

(5 BE)

Berechnen Sie \(f(-5)\) und \(f(-1{,}5)\) und skizzieren Sie \(G_{f}\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1.

(4 BE)

Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle h \colon x \mapsto \frac{3}{e^{x + 1} - 1}\) mit Definitionsbereich \(D_{h} = ]-1;+\infty[\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{h}\) von \(h\).

Abb. 2

Begründen Sie anhand des Funktionsterms, das \(\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} h(x) = 0\) gilt.

Zeigen Sie rechnerisch für \(x \in D_{h}\), dass für die Ableitung \(h'\) von \(h\) gilt: \(h'(x) < 0\).

(4 BE)

Gegeben ist ferner die in \(D_{h}\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle H_{0} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} h(t) \,dt\).

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr sind:

α) Der Graph von \(H_{0}\) ist streng monoton steigend.

β) Der Graph von \(H_{0}\) ist rechtsgekrümmt.

(4 BE)

Geben Sie die Nullstelle von \(H_{0}\) an und bestimmen Sie näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 die Funktionswerte \(H_{0}(-0{,}5)\) sowie \(H_{0}(3)\). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von \(H_{0}\) im Bereich \(-0{,}5 \leq x \leq 3\).

(6 BE)

In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion \(h\) aus Aufgabe 2 beschreibt für \(x \geq 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet \(h(x)\) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und \(x\) die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.

Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt \(x\), zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist.

(3 BE)

Die in \(\mathbb R \, \backslash \, \{-3;-1\}\) definierte Funktion \(\displaystyle k \colon x \mapsto 3 \cdot \left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 3} \right) - 0{,}2\) stellt im Bereich \(-0{,}5 \leq x \leq 2\) eine gute Näherung für die Funktion \(h\) dar.

Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion \(k\) aus dem Graphen der Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 hervorgeht.

(2 BE)

Berechnen Sie einen Näherungswert für \(\displaystyle \int_{0}^{1} h(x)\,dx\), indem Sie den Zusammenhang \(\displaystyle \int_{0}^{1}h(x)\,dx \approx \int_{0}^{1}k(x)\,dx\) verwenden. Geben Sie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an.

(5 BE)