Stochastik 1

Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens 11 beträgt.

(3 BE)

Die Zufallsgröße \(X\) kann ausschließlich die Werte \(1\), \(4\), \(9\) und \(16\) annehmen. Bekannt sind \(P(X = 9) = 0{,}2\) und \(P(X = 16) = 0{,}1\) sowie der Erwartungswert \(E(X) = 5\). Bestimmen Sie mithilfe eines Ansatzes für den Erwartungswert die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 1)\) und \(P(X = 4)\).

(3 BE)

Gegeben ist eine Bernoullikette mit der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\). Erklären Sie, dass für alle \(k \in \{0; 1; 2; \dots; n\}\) die Beziehung \(B(n; p; k) = B(n; 1 - p; n - k)\) gilt. 

(2 BE)

Ein Unternehmen organisiert Fahrten mit einem Ausflugsschiff, das Platz für 60 Fahrgäste bietet.

Betrachtet wird eine Fahrt, bei der das Schiff voll besetzt ist. Unter den Fahrgästen befinden sich Erwachsene, Jugendliche und Kinder. Die Hälfte der Fahrgäste isst während der Fahrt ein Eis, von den Erwachsenen nur jeder Dritte, von den Jugendlichen und Kindern 75 %. Berechnen Sie, wie viele Erwachsene an der Fahrt teilnehmen.

(3 BE)

Möchte man an einer Fahrt teilnehmen, so muss man dafür im Voraus eine Reservierung vornehmen, ohne dabei schon den Fahrpreis bezahlen zu müssen. Erfahrungsgemäß erscheinen von den Personen mit Reservierung einige nicht zur Fahrt. Für die 60 zur Verfügung stehenden Plätze lässt das Unternehmen deshalb bis zu 64 Reservierungen zu. Es soll davon ausgegangen werden, dass für jede Fahrt tatsächlich 64 Reservierungen vorgenommen werden. Erscheinen mehr als 60 Personen mit Reservierung zur Fahrt, so können nur 60 von ihnen daran teilnehmen; die übrigen müssen abgewiesen werden.
Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Personen mit Reservierung, die nicht zur Fahrt erscheinen. Vereinfachend soll angenommen werden, dass \(X\) binomialverteilt ist, wobei die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, 10 % beträgt. Die auf der nächsten Seite abgebildete Tabelle ergänzt das zugelassene Tafelwerk (vgl. Seitenende).

Geben Sie einen Grund an, dass es sich bei der Annahme, die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt, im Sachzusammenhang um eine Vereinfachung handelt.

(1 BE)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine Person mit Reservierung abgewiesen werden muss.

(3 BE)

Für das Unternehmen wäre es hilfreich, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens eine Person mit Reservierung abweisen zu müssen, höchstens ein Prozent wäre. Dazu müsste die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, mindestens einen bestimmten Wert haben. Ermitteln Sie diesen Wert auf ganze Prozent genau.

(3 BE)

Das Unternehmen richtet ein Online-Portal zur Reservierung ein und vermutet, dass dadurch der Anteil der Personen mit Reservierung, die zur jeweiligen Fahrt nicht erscheinen, zunehmen könnte. Als Grundlage für die Entscheidung darüber, ob pro Fahrt künftig mehr als 64 Reservierungen zugelassen werden, soll die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens 10 %." mithilfe einer Stichprobe von 200 Personen mit Reservierung auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Vor der Durchführung des Tests wird festgelegt, die Anzahl der für eine Fahrt möglichen Reservierungen nur dann zu erhöhen, wenn die Nullhypothese aufgrund des Testergebnisses abgelehnt werden müsste.

Ermitteln Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

(5 BE)

Entscheiden Sie, ob bei der Wahl der Nullhypothese eher das Interesse, dass weniger Plätze frei bleiben sollen, oder das Interesse, dass nicht mehr Personen mit Reservierung abgewiesen werden müssen, im Vordergrund stand. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

(3 BE)

Beschreiben Sie den zugehörigen Fehler zweiter Art sowie die daraus resultierende Konsequenz im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Binomialverteilung kumulativ; \(k \mapsto \sum \limits_{i\,=\,0}^{k} B(n;p;i)\)

Gegeben sind grüne und rote Würfel, deren Seitenflächen unterschiedlich beschriftet sind und beim Werfen mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Jeder grüne Würfel trägt auf fünf Seitenflächen die Augenzahl 1 und auf einer die Augenzahl 6. Jeder rote Würfel trägt auf jeweils zwei Seitenflächen die Augenzahlen 1, 3 bzw. 6.

In einer Urne befinden sich drei grüne Würfel und zwei rote Würfel. Der Urne werden mit einem Griff zwei Würfel zufällig entnommen. Geben Sie einen Term an, mit dem man die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen kann, dass ein roter Würfel und ein grüner Würfel entnommen werden.

(2 BE)

Ein grüner Würfel und ein roter Würfel werden gleichzeitig geworfen. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Summe der beiden geworfenen Augenzahlen. Geben Sie alle Werte an, die die Zufallsgröße \(X\) annehmen kann, und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 7)\).

(3 BE)

In einer Gemeinde gibt es 6250 Haushalte, von denen 2250 über einen schnellen Internetanschluss verfügen. Zwei Drittel der Haushalte, die über einen schnellen Internetanschluss verfügen, besitzen auch ein Abonnement eines Streamingdiensts. 46 % aller Haushalte verfügen weder über einen schnellen Internetanschluss noch besitzen sie ein Abonnement eines Streamingdiensts.

Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

\(A\): „Ein zufällig ausgewählter Haushalt verfügt über einen schnellen Internetanschluss."

\(B\): „Ein zufällig ausgewählter Haushalt besitzt ein Abonnement eines Streamingdiensts,"

Stellen Sie zu der beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf und überprüfen Sie, ob die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind.

(5 BE)

Ein Telekommunikationsunternehmen möchte neue Kunden gewinnen. Dazu schickt es an zufällig ausgewählte Haushalte Werbematerial. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass die angeschriebenen Haushalte unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 20 % noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.

Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 10 angeschriebenen Haushalten

● mindestens zwei noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.

● genau acht bereits über einen schnellen Internetanschluss verfügen.

(4 BE)

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term \(0{,}2^{10} + (1 - 0{,}2)^{10}\) angegeben wird.

(2 BE)

Ermitteln Sie, wie viele Haushalte das Unternehmen mindestens anschreiben müsste, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % wenigstens ein angeschriebener Haushalt, der noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügt, einen solchen einrichten lassen würde. Gehen Sie davon aus, dass sich jeder hundertste angeschriebene Haushalt, der noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügt, dafür entscheidet, einen solchen einrichten zu lassen.

(5 BE)

Die Zufallsgröße \(Y\) kann die Werte 0, 1, 2, 3 und 4 annehmen. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\) mit \(a, b \in [0;1]\).

Beschreiben Sie, woran man unmittelbar erkennen kann, dass der Erwartungswert von \(Y\) gleich 2 ist.

(2 BE)

Die Varianz von \(Y\) ist gleich \(\frac{11}{8}\).

Bestimmen Sie die Werte von \(a\) und \(b\).

(5 BE)

Die Zufallsgröße \(Z\), die für eine Laplace-Münze die Anzahl des Auftretens von „Zahl" bei viermaligem Werfen beschreibt, hat ebenfalls den Erwartungswert 2 und es gilt analog \(P(Z = 2) = \frac{3}{8}\). Berechnen Sie die Varianz von \(Z\), vergleichen Sie diese mit der Varianz von \(Y\) und beschreiben Sie davon ausgehend einen qualitativen Unterschied der Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Z\) und \(Y\).

(2 BE)