Stochastik 2

Begründen Sie, dass \(X\) nicht binomialverteilt ist.

(3 BE)

Ein Süßwarenunternehmen stellt verschiedene Sorten Fruchtgummis her.

Luisa nimmt an einer Betriebsbesichtigung des Unternehmens teil. Zu Beginn der Führung bekommt sie ein Tütchen mit zehn Gummibärchen, von denen fünf weiß. zwei rot und drei grün sind. Luisa öffnet das Tütchen und nimmt, ohne hinzusehen, drei Gummibärchen heraus. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die drei Gummibärchen die gleiche Farbe haben.

(3 BE)

Vor dem Verpacken werden die verschiedenfarbigen Gummibärchen in großen Behältern gemischt, wobei der Anteil der roten Gummibärchen 25 % beträgt. Ein Verpackungsautomat füllt jeweils 50 Gummibärchen aus einem der großen Behälter in eine Tüte.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer zufällig ausgewählten Tüte mehr als ein Drittel der Gummibärchen rot ist.

(3 BE)

Um sicherzustellen, dass jeweils genau 50 Gummibärchen in eine Tüte gelangen, fallen diese einzeln nacheinander aus einer Öffnung des Behälters in den Verpackungsautomaten. Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem folgenden Term berechnet werden kann:

\[\sum \limits_{k\,=\,0}^{3}(0{,}75^{k} \cdot 0{,}25)\]

(2 BE)

Ermitteln Sie, wie groß der Anteil der gelben Gummibärchen in der Produktion mindestens sein muss, damit in einer zufällig ausgewählten Tüte mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens ein gelbes Gummibärchen ist.

(4 BE)

Das Süßwarenunternehmen produziert auch zuckerreduzierte und vegane Fruchtgummis und bringt diese in entsprechend gekennzeichneten Tüten in den Handel.

Der Anteil der nicht als vegan gekennzeichneten Tüten ist dreimal so groß wie der Anteil der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind. 42 % der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind, sind zusätzlich auch als zuckerreduziert gekennzeichnet. Insgesamt sind 63 % der Tüten weder als vegan noch als zuckerreduziert gekennzeichnet.

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(V\): „Eine zufällig ausgewählte Tüte ist als vegan gekennzeichnet."

\(R\): „Eine zufällig ausgewählte Tüte ist als zuckerreduziert gekennzeichnet."

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(\overline{R}\).

(3 BE)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P_{\overline{V}}(R)\).

(3 BE)

Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms \(1 - P_{\overline{V}}(R)\) im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Bei einer Werbeaktion werden den Fruchtgummitüten Rubbellose beigelegt. Beim Freirubbeln werden auf dem Los bis zu drei Goldäpfel sichtbar. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Goldäpfel, die beim Freirubbeln sichtbar werden. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\).

Die Zufallsgröße \(X\) hat den Erwartungswert 1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten \(p_{0}\) und \(p_{1}\) und berechnen Sie die Varianz von \(X\).

(3 BE)

Ohne Kenntnis des Erwartungswerts ist die Varianz in der Regel nicht aussagekräftig. Daher wird für den Vergleich verschiedener Zufallsgrößen oft der Quotient aus der Standardabweichung und dem Erwartungswert betrachtet, der als relative Standardabweichung bezeichnet wird.

Die Zufallsgröße \(Y_{n}\) beschreibt die Anzahl der Goldäpfel, die beim Freirubbeln von \(n\) Losen sichtbar werden. Es gilt \(E(Y_{n}) = n\) und \(Var(Y_{n}) = n\). Bestimmen Sie den Wert von \(n\), für den die relative Standardabweichung 5 % beträgt.

(2 BE)

Der Würfel wird so lange geworfen, bis die Zahl 1 zum ersten Mal erzielt wird. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau viermal gewürfelt wird.

(2 BE)

Die drei leeren Seiten des Würfels sollen jeweils mit einer positiven geraden Zahl beschriftet werden. Ermitteln Sie eine Möglichkeit für die Beschriftung dieser drei Seiten, sodass bei einmaligem Werfen des Würfels der Erwartungswert für die Zahl \(\dfrac{31}{6}\) beträgt.

(3 BE)

Die SMV eines Gymnasium initiierte im vergangenen Schuljahr die Aktionen „Baumpatenschaft" und „Umweltwoche".

Mit einer Umfrage auf dem Schulfest wird der Bekanntheitsgrad der beiden Aktionen ermittelt. Von den Befragten kennt jeder Fünfte die Aktion „Baumpatenschaft". 24 % der Befragten kennen keine der beiden Aktionen; die Aktion „Umweltwoche" kennen 30 % der Befragten nicht.

Aus den Befragten wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(B\): „Die Person kennt die Aktion ,Baumpatenschaft'."

\(U\): „Die Person kennt die Aktion ,Umweltwoche'."

Weisen Sie nach, dass die Ereignisse \(B\) und \(U\) stochastisch unabhängig sind.

(4 BE)

Geben Sie für den Fall, dass die ausgewählte Person die Aktion „Baumpatenschaft" kennt, die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sie die Aktion „Umweltwoche" nicht kennt.

(1 BE)

Um Geld für die beiden Aktionen einzunehmen, bietet die SMV auf dem Schulfest das Spiel „2022" an. Bei dem Spiel werden zwei Glücksräder mit drei bzw. vier gleich großen Sektoren verwendet, die wie in Abbildung 1 beschriftet sind. Für einen Einsatz von 3 € darf man jedes der beiden Glücksräder einmal drehen. Für jede Ziffer 2, die auf den erzielten Sektoren steht, werden 2 € ausbezahlt. Die Zufallsgröße \(Z\) beschreibt, wie oft die Ziffer 2 auf den erzielten Sektoren insgesamt vorkommt.

Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Z\). Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten \(p_1\) und \(p_2\).

(zur Kontrolle: \(p_2 = \frac{1}{4}\))

(3 BE)

Ermitteln Sie, wie viele Spiele durchgeführt werden müssen, damit der Erwartungswert der Einnahme für die beiden Aktionen 300 € beträgt.

(4 BE)

Acht Personen spielen nacheinander jeweils einmal das Spiel „2022".

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die SMV mehr als zweimal mindestens 4 € ausbezahlen muss.

(4 BE)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an die ersten drei Personen drei unterschiedliche Beträge ausbezahlt werden, die in der Summe 12 € ergeben.

(3 BE)

Die binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit den Parametern \(n = 8\) und \(p_X\) besitzt die Standardabweichung \(\frac{4}{3}\). In Abbildung 2 ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) dargestellt.

Abb. 2

Ermitteln Sie den Wert des Parameters \(p_X\).

(4 BE)

Die binomialverteilte Zufallsgröße \(Y\) hat die Parameter \(n = 8\) und \(p_Y = 1 - p_X\). Kennzeichnen Sie in Abbildung 2 eine Fläche, die die Wahrscheinlichkeit \(P(Y \geq 6)\) darstellt.

(2 BE)