Geometrie 1

Eine Geothermieanlage fördert durch einen Bohrkanal heißes Wasser aus einer wasserführenden Gesteinsschicht an die Erdoberfläche. In einem Modell entspricht die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems der horizontal verlaufenden Erdoberfläche. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Kilometer in der Realität. Der Bohrkanal besteht aus zwei Abschnitten, die im Modell vereinfacht durch die Strecken \([AP]\) und \([PQ]\) mit den Punkten \(A(0|0|0)\), \(P(0|0|-1)\) und \(Q(1|1|-3{,}5)\) beschrieben werden (vgl. Abbildung).

Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Gesamtlänge des Bohrkanals auf Meter gerundet.

(2 BE)

Beim Übergang zwischen den beiden Abschnitten des Bohrkanals muss die Bohrrichtung um den Winkel geändert werden, der im Modell durch den Schnittwinkel der beiden Geraden \(AP\) und \(PQ\) beschrieben wird. Bestimmen Sie die Größe dieses Winkels.

(3 BE)

Im Modell liegt die obere Begrenzungsfläche der wasserführenden Gesteinsschicht in der Ebene \(E\) und die untere Begrenzungsfläche in einer zu \(E\) parallelen Ebene \(F\). Die Ebene \(E\) enthält den Punkt \(Q\). Die Strecke \([PQ]\) steht senkrecht auf der Ebene \(E\) (vgl. Abbildung).

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(E \colon 4x_{1} + 4x_{2} - 10x_{3} - 43 = 0\))

(2 BE)

Der Bohrkanal wird geradlinig verlängert und verlässt die wasserführende Gesteinsschicht in einer Tiefe von 3600 m unter der Erdoberfläche. Die Austrittsstelle wird im Modell als Punkt \(R\) auf der Geraden \(PQ\) beschrieben. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(R\) und ermitteln Sie die Dicke der wasserführenden Gesteinsschicht auf Meter gerundet.

(zur Kontrolle: \(x_{1}\)- und \(x_{2}\)-Koordinate von \(R\): \(1{,}04\))

(6 BE)

Ein zweiter Bohrkanal wird benötigt, durch den das entnommene Wasser abgekühlt zurück in die wasserführende Gesteinsschicht geleitet wird. Der Bohrkanal soll geradlinig und senkrecht zur Erdoberfläche verlaufen. Für den Beginn des Bohrkanals an der Erdoberfläche kommen nur Bohrstellen in Betracht, die im Modell durch einen Punkt \(B(t|-t|0)\) mit \(t \in \mathbb R\) beschrieben werden können.

Zeigen Sie rechnerisch, dass der zweite Bohrkanal die wasserführende Gesteinsschicht im Modell im Punkt \(T(t|-t|-4{,}3)\) erreicht, und erläutern Sie, wie die Länge des zweiten Bohrkanals bis zur wasserführenden Gesteinsschicht von der Lage der zugehörigen Bohrstelle beeinflusst wird.

(3 BE)

Aus energetischen Gründen soll der Abstand der beiden Stellen, an denen die beiden Bohrkanäle auf die wasserführende Gesteinsschicht treffen, mindestens 1500 m betragen. Entscheiden Sie auf der Grundlage des Modells, ob diese Bedingung für jeden möglichen zweiten Bohrkanal erfüllt wird.

(4 BE)

Für jedes \(a \in \mathbb R^{+}\) liegt die Gerade \(g_{a}\) in der Ebene \(U\) mit der Gleichung \(x_{1} = 2{,}5\).

Ein beliebiger Punkt \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) des Raums wird an der Ebene \(U\) gespiegelt. Geben Sie die Koordinaten des Bildpunkts \(P'\) in Abhängigkeit von \(p_{1}\), \(p_{2}\) und \(p_{3}\) an.

(2 BE)

Die Strecke \([PQ]\) mit den Eigenschaften \(P(8|-5|1)\) und \(Q\) ist Durchmesser einer Kugel mit Mittelpunkt \(M(5|-1|1)\).

Berechnen Sie die Koordinaten von \(Q\) und weisen Sie nach, dass der Punkt \(R(9|-1|4)\) auf der Kugel liegt.

(3 BE)

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass das Dreieck \(PQR\) bei \(R\) rechtwinklig ist.

(2 BE)

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m, d.h. die Mehrzweckhalle ist 20 m lang.

Geben Sie die Koordinaten der Punkte \(B_{2}\), \(B_{3}\) und \(B_{4}\) an und bestätigen Sie, dass diese Punkte in der Ebene \(E \colon x_{2} + 5x_{3} - 30 = 0\) liegen.

(4 BE)

Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche gegenüber der Horizontalen.

(3 BE)

Der Punkt \(T(7|10|0)\) liegt auf der Kante \([A_{3}A_{4}]\). Untersuchen Sie rechnerisch, ob es Punkte auf der Kante \([B_{3}B_{4}]\) gibt, für die gilt: Die Verbindungsstrecken des Punktes zu den Punkten \(B_{1}\) und \(T\) stehen aufeinander senkrecht. Geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten dieser Punkte an.

(6 BE)

Der Punkt \(L\), der vertikal über dem Mittelpunkt der Kante \([A_{1}A_{2}]\) liegt, veranschaulicht im Modell die Position einer Flutlichtanlage, die 12 m über der Grundfläche angebracht ist. Die als punktförmig angenommene Lichtquelle beleuchtet - mit Ausnahme des Schattenbereichs in der Nähe der Hallenwände - das gesamte Gelände um die Halle.

Die Punkte \(L\), \(B_{2}\) und \(B_{3}\) legen eine Ebene \(F\) fest. Ermitteln Sie eine Gleichung von \(F\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(F \colon 3x_{1} + x_{2} + 5x_{3} - 90 = 0\))

(5 BE)

Die Ebene \(F\) schneidet die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene in der Geraden \(g\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(g\).

(zur Kontrolle: \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 30 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\))

(3 BE)

Die Abbildung 2 zeigt den Grundriss des Hallenmodells in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Stellen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse den Schattenbereich der Flutlichtanlage in der Abbildung exakt dar.

(4 BE)

Gegeben ist die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb R\), sowie eine weitere Gerade \(h\), welche parallel zu \(g\) ist und durch den Punkt \(A(2|0|0)\) verläuft. Der Punkt \(B\) liegt auf \(g\) so, dass die Geraden \(AB\) und \(h\) senkrecht zueinander sind.

Bestimmen Sie die Koordinaten von \(B\).

(zur Kontrolle: \(B(-2|3|2)\))

(4 BE)

Berechnen Sie den Abstand von \(g\) und \(h\).

(1 BE)

Die Punkte \(A(6|0|4)\), \(B(0|6|4)\), \(C(-6|0|4)\) und \(D\) liegen in der Ebene \(E\) und bilden die Eckpunkte der quadratischen Grundfläche einer Pyramide \(ABCDS\) mit der Spitze \(S(0|0|1)\). \(A\), \(B\) und \(S\) liegen in der Ebene \(F\).

Zeigen Sie rechnerisch, dass das Dreieck \(ABS\) gleichschenklig ist. Geben Sie die Koordinaten des Punkts \(D\) an und beschreiben Sie die besondere Lage der Ebene \(E\) im Koordinatensystem.

(4 BE)

Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene \(F\) in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: \(F \colon x_{1} + x_{2} - 2x_{3} + 2 = 0\))

(3 BE)

Berechnen Sie das Volumen \(V\) der Pyramide \(ABCDS\).

(zur Kontrolle: \(V = 72\))

(2 BE)