Schnittpunkt mit der y-Achse

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2e^{-\frac{1}{8}x^2}\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\), der die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote besitzt.

Abb. 1

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_f\) mit der \(y\)-Achse und weisen Sie rechnerisch nach, dass \(G_f\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist.

(2 BE) 

Abb. 3

Geben Sie die Breite und Höhe der Vorderseite der Dachgaube an.

(2 BE) 

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \displaystyle \frac{2e^x}{e^x + 9}\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\,\).

Abb. 2

Zeigen Sie rechnerisch, dass \(G_f\) genau einen Achsenschnittpunkt \(S\) besitzt, und geben Sie die Koordinaten von \(S\) an.

(2 BE)

Gegeben ist die Schar der Funktionen \(f_a : x \mapsto 6 \cdot e^{-0{,}5x} - a \cdot x\) mit \(a \in \mathbb R^+\) und Definitionsmenge \(\mathbb R\).

Weisen Sie nach, dass die Graphen aller Funktionen der Schar die \(y\)-Achse im selben Punkt schneiden und in \(\mathbb R\) streng monoton fallend sind. Zeigen Sie, dass \(\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f_a(x) = -\infty\) gilt.

(5 BE)

Geben Sie für die Funktion \(f\) mit \(f(x) = \ln (2013 - x)\) den maximalen Definitionsbereich \(D\), das Verhalten von \(f\) an den Grenzen von \(D\) sowie die Schnittpunkte des Graphen von \(f\) mit den Koordinatenachsen an.

(5 BE)