Graph einer Ableitungsfunktion

Teilaufgabe 2d

Nur zu dem Zeitpunkt, der im Modell durch \(x_{0}\) (vgl. Aufgabe 2b) beschrieben wird, nimmt die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts des Algenteppichs ihren größten Wert an. Geben Sie eine besondere Eigenschaft des Graphen von \(A\) im Punkt \((x_{0}|A(x_{0}))\) an, die sich daraus folgern lässt, und begründen Sie Ihre Angabe.

(2 BE)

Teilaufgabe 2b

Es gibt Tangenten an den Graphen von \(f\), die parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten sind. Ermitteln Sie anhand des Graphen \(\mathbf{G_{f'}}\) der Ableitungsfunktion \(f'\) in der Abbildung 1 Näherungswerte für die \(x\)-Koordinaten derjenigen Punkte, in denen der Graph von \(f\) jeweils eine solche Tangente hat.

(2 BE)

Teilaufgabe 2a

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f'}\) der Ableitungsfunktion \(f'\) einer in \(\mathbb R\) definierten ganzrationalen Funktion \(f\). Nur in den Punkten \((-4|f'(-4))\) und \((5|f'(5))\) hat der Graph \(G_{f'}\) waagrechte Tangenten.

Abbildung 1 Analysis 1 Prüfungsteil A Mathematik Abitur Bayern 2020

Begründen Sie, dass \(f\) genau eine Wendestelle besitzt. 

(2 BE)

Teilaufgabe 4a

Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

Abbildung 2 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 AAbb. 2

Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von \(f\). Geben Sie diesen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

Graph I Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 A

Graph II Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 A

Graph III Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 AAbb. 3

(3 BE)

Teilaufgabe 3a

Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

Abbildung 2 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 AAbb. 2

Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von \(f\). Geben Sie diesen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

Graph I Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 A

Graph II Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 A

Graph III Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 AAbb. 3

(3 BE)

Teilaufgabe 1c

Begründen Sie, dass \(\lim \limits_{x\,\to\,0}f'(x) = -\infty\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f'(x) = 0\) gilt. Geben Sie \(f'(0{,}5)\) und \(f'(10)\) auf eine Dezimale genau an und zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 ein.

(6 BE)

Teilaufgabe 4

Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) mit dem Wendepunkt \(W(1|4)\).

Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung näherungsweise den Wert der Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x = 1\).

Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) in die Abbildung; berücksichtigen Sie dabei insbesondere die Lage der Nullstellen von \(f'\) sowie den für \(f'(1)\) ermittelten Näherungswert.

Abbildung Aufgabe 3 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

(3 BE)

Lösung - Aufgabe 6

Ordnen Sie die Graphen I bis VI den freien Feldern der Tabelle so zu, dass unter einem Funktionsgraphen jeweils der Graph seiner Ableitung zu sehen ist und beschriften Sie die Felder entsprechend. Begründen Sie Ihre Wahl für die erste Spalte.

Hinweis: Die Skalierung der Koordinatenachsen ist für alle abgebildeten Graphen dieselbe.

 

Funktionsgraph links oben der Tabelle zu Aufgabe 6    
  Funktionsgraph mittig der Tabelle zu Aufgabe 6   
    Funktionsgraph rechts unten der Tabelle zu Aufgabe 6 

 

Graphen I bis VI:

Graph I Graph II Graph III
Graph IV Graph V Graph VI

Aufgaben

Aufgabe 1

Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion \(f\) an, deren Graph die Asymptote mit der Gleichung \(y = 2x - 1\) sowie die Nullstelle \(x = 2\) besitzt.

 

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x + 4}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge sowie die Nullstelle(n) und die Polstelle(n) der Funktion \(f\) an. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen der Funktion \(f\).

b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

c) Leiten Sie die Funktion \(f\) sowohl mit der Produkt- als auch der Quotientenregel ab.

(Zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{-4x - 8}{x^{3}}\))

d) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) der Ableitungsfunktion und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

e) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 2\).

 

Aufgabe 3

a) Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen mithilfe der Ableitungsregeln ohne anschließend zu vereinfachen.

 

α) \(f(x) = 3x^{4} - \dfrac{3}{x} + 6\)

β) \(g(x) = (2x - 3)(x^{2} - t)\)

γ) \(h(x) = \dfrac{3x - 5}{3 - x^{3}}\)

 

b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{4} + \dfrac{3}{x^{3}} - 4\).

 

Aufgabe 4

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 4x^{2} - 1\).

 

a) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall \([1;3]\).

b) Bestimmen Sie \(f'(2)\) unter Verwendung des Differentialquotienten.

 

Aufgabe 5

Florian behauptet: „Sind die Ableitungen von zwei Funktionen gleich, so sind auch die Funktionen selbst gleich."

Nehmen Sie zu Florians Aussage begründend Stellung.

 

Aufgabe 6

Ordnen Sie die Graphen I bis VI den freien Feldern der Tabelle so zu, dass unter einem Funktionsgraphen jeweils der Graph seiner Ableitung zu sehen ist und beschriften Sie die Felder entsprechend. Begründen Sie Ihre Wahl für die erste Spalte.

Hinweis: Die Skalierung der Koordinatenachsen ist für alle abgebildeten Graphen dieselbe.

 

Funktionsgraph links oben der Tabelle zu Aufgabe 6    
  Funktionsgraph mittig der Tabelle zu Aufgabe 6   
    Funktionsgraph rechts unten der Tabelle zu Aufgabe 6 

 

Graphen I bis VI:

Graph I Graph II Graph III
Graph IV Graph V Graph VI

Lösung - Aufgabe 4

Graph der Funktion f

Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer Funktion \(f\).

Ordnen Sie dem Graphen der Funktion \(f\) aus den Graphen I bis VI den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(f'\) und einer zugehörigen Stammfunktion \(F\) zu. Begründen Sie Ihre Wahl.

Graph I
Graph II
Graph III
Graph IV
Graph V
Graph VI
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