Wendetangente

  • Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Untersuchen Sie die Funktion \(f\) auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

    b) Berechnen Sie die Lage und die Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).

    (zur Kontrolle: \(f'(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(1 - x)\))

    c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) und geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts an. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente \(w\).

    (zur Kontrolle: \(f''(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(x - 2)\))

    d) Skizzieren Sie \(G_{f}\) sowie die Wendetangente \(w\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

    e) Weisen Sie nach, dass die Funktion \(F\colon x \mapsto -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1)\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) ist.

    f) Der Graph \(G_{f}\) und die Wendetangente \(w\) schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein. Schraffieren Sie dieses Flächenstück in der Skizze aus Teilaufgabe d und berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).

    g) Berechnen Sie das Integral \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) dx\) und geben Sie die geometrische Bedeutung des Ergebnisses an.

  • Aufgabe 1

    Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale:

    a) \(\displaystyle \int 5x^{2} \cdot e^{x^{3}} dx\)

    b) \(\displaystyle \int \frac{2}{3}x \cdot \frac{2}{x^{2} + 2} dx\)

     

    Aufgabe 2

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Untersuchen Sie die Funktion \(f\) auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

    b) Berechnen Sie die Lage und die Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).

    (zur Kontrolle: \(f'(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(1 - x)\))

    c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) und geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts an. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente \(w\).

    (zur Kontrolle: \(f''(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(x - 2)\))

    d) Skizzieren Sie \(G_{f}\) sowie die Wendetangente \(w\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

    e) Weisen Sie nach, dass die Funktion \(F\colon x \mapsto -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1)\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) ist.

    f) Der Graph \(G_{f}\) und die Wendetangente \(w\) schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein. Schraffieren Sie dieses Flächenstück in der Skizze aus Teilaufgabe d und berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).

    g) Berechnen Sie das Integral \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) dx\) und geben Sie die geometrische Bedeutung des Ergebnisses an.

     

    Aufgabe 3

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 1 - (\ln{x})^{2}\). Die Funktion \(F \colon x \mapsto x(\ln{x} - 1)^{2}\) ist eine Stammfunktion der Funktion \(f\) (Nachweis nicht erforderlich!).

    Bestimmen Sie die untere Grenze \(a \in \mathbb R^{+}\) der in \(\mathbb R^{+}\) definierten Integralfunktion \(\displaystyle I \colon x \mapsto \int_{a}^{x} f(t) dt\) so, dass diese mit \(F(x)\) übereinstimmt.

     

    Aufgabe 4

    Gegeben sind die Punkte \(A(-3|-1|4)\), \(B(0|6|5)\) und \(C(3|2|1)\).

    a) Prüfen Sie, ob die drei Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) auf einer Gerade liegen.

    b) Eine Gleichung der Gerade \(AB\) in Parameterform ist gegeben mit \(AB \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}; \; \lambda \in \mathbb R\). Beschreiben Sie ausgehend von dieser Geradengleichung die Strecke [AB].

     

    Aufgabe 5

    Gegeben sind die Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) und \(h \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\).

    a) Weisen Sie nach, dass sich die Geraden \(g\) und \(h\) im Punkt \(S(-3|-1|4)\) schneiden.

    b) Geben Sie eine Gleichung der von den Geraden \(g\) und \(h\) aufgespannten Ebene \(E\) in Parameterform an und bestimmen Sie ein Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

  • Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich. 

    (3 BE)

  • Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich. 

    (3 BE)

  • Zu Beginn eines Ausatemvorgangs befinden sich 3,5 Liter Luft in der Lunge der Testperson. Skizzieren Sie auf der Grundlage des Modells unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus Aufgabe 3c in einem Koordinatensystem für \(0 \leq t \leq 8\) den Graphen einer Funktion, die den zeitlichen Verlauf des Luftvolumens in der Lunge der Testperson beschreibt.

    (3 BE)

  • Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{k}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(k\). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(k'\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für die Steigung des Graphen \(G_{k}\) an dessen Wendepunkt \((0|-3)\) sowie die Nullstelle von \(k'\).

    Abbildung 2 zu Teilaufgabe 4 - Analysis 2 - Prüfungsteil A - Mathematik Abitur Bayern 2016

    Abb. 2

    (4 BE)

  • Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) mit dem Wendepunkt \(W(1|4)\).

    Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung näherungsweise den Wert der Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x = 1\).

    Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) in die Abbildung; berücksichtigen Sie dabei insbesondere die Lage der Nullstellen von \(f'\) sowie den für \(f'(1)\) ermittelten Näherungswert.

    Abbildung Aufgabe 3 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

    (3 BE)

  • Zeigen Sie, dass \(G_{f}\) genau einen Wendepunkt \(W\) besitzt, und bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\).

    (zur Kontrolle: \(x\)-Koordinate von \(W\): \(e\))

    (6 BE)

  • Zeigen Sie, dass \(G_{f}\) im Punkt \(W(5|0)\) einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\).

    (6 BE)

  • Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

    Abbildung 2 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 AAbb. 2

     

    Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von \(f\). Geben Sie diesen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

    Graph I Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 A
    Graph II Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 A
    Graph III Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 AAbb. 3

     

    (3 BE)

  • Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

    Abbildung 2 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 AAbb. 2

     

    Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von \(f\). Geben Sie diesen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

    Graph I Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 A
    Graph II Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 A
    Graph III Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 AAbb. 3

     

    (3 BE)

  • Bestimmen Sie den Wert von \(k\) so, dass der zugehörige Wendepunkt \(W_{k}\) auf der \(y\)-Achse liegt. Zeigen Sie, dass in diesem Fall der Punkt \(W_{k}\) im Koordinatenursprung liegt und die Wendetangente, d. h. die Tangente an \(G_{k}\) im Punkt \(W_{k}\), die Steigung \(9\) hat.

    (4 BE)

  • Für den in Aufgabe 3c bestimmten Wert von \(k\) zeigt Abbildung 3 den zugehörigen Graphen mit seiner Wendetangente. In diesem Koordinatensystem sind die beiden Achsen unterschiedlich skaliert.

    Bestimmen Sie die fehlenden Zahlenwerte an den Markierungsstrichen der \(y\)-Achse mithilfe eines geeigneten Steigungsdreiecks an der Wendetangente und tragen Sie die Zahlenwerte in Abbildung 3 ein.

    Abbildung 3 Aufgabe 3d Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 BAbb. 3

    (2 BE)

  • Die Funktion \(p\) besitzt im Intervall \([4;12]\) eine Wendestelle. Geben Sie die Bedeutung dieser Wendestelle im Sachzusammenhang an.

    (2 BE)

  • Geben Sie \(g'(0)\) an un zeichnen Sie \(G_{g}\) im Bereich \(-4 \leq x \leq 4\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse und der Tatsache, dass \(G_{g}\) in \(W(0|g(0))\) seinen einzigen Wendepunkt hat, in ein Koordinatensystem ein.

    (3 BE)

  • Der Graph einer Stammfunktion von \(g\) verläuft durch \(P\). Skizzieren Sie diesen Graphen in Abbildung 2.

    (3 BE) 

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