a) Maximale Definitionsmenge, Nullstelle(n) und Polstelle(n) von \(f\) sowie Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\)
\[f(x) = \frac{4x + 4}{x^{2}}\]
Maximale Definitionsmenge von \(f\)
Da die Division durch Null in der Mathematik nicht erlaubt ist, ist die gebrochenrationale Funktion \(f\) an den Nullstellen des Nennerterms nicht definiert.
\[\Longrightarrow \quad D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\]
Nullstelle(n) von \(f\)
\[f(x) = \frac{4x + 4}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\]
Ein Bruchterm ist gleich Null, wenn der Zählerterm gleich Null ist.
\[\begin{align*}f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 4x + 4 &= 0 & &| - 4 \\[0.8em] 4x &= -4 & &| : 4 \\[0.8em] x &= -1 \end{align*}\]
oder
\[\begin{align*}f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 4x + 4 &= 0 \\[0.8em] 4 \cdot (x + 1) &= 0 \\[0.8em] x &= -1 \end{align*}\]
\(x = -1\) ist einzige Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion \(f\).
Polstellen von \(f\)
\[f(x) = \frac{4x + 4}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\]
Da die Nennernullstelle \(x = 0\) nicht zugleich eine Nullstelle des Zählers ist, ist die Definitionslücke \(x = 0\) nicht hebbar. Folglich ist \(x = 0\) eine Polstelle der gebrochenrationalen Funktion \(f\). Zudem ist \(x = 0\) eine doppelte Nennernullstelle, was auf eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel schließen lässt.
Anmerkung:
Eine hebbare Definitionslücke einer gebrochenrationalen Funktion liegt immer dann vor, wenn eine Nennernullstelle zugleich Zählernullstelle ist. Der Graph der gebrochenrationalen Funktion zeigt dann an der entsprechenden Stelle ein Definitionsloch, während er in der Umgebung einer Polstelle gegen \(- \infty\) bzw. \(+ \infty\) strebt.
Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\)
Senkrechte Asymptote(n):
An einer Polstelle besitzt der Graph einer gebrochenrationalen Funktion eine senkrechte Asymptote.
Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{a_{m}x^{m} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{b_{n}x^{n} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.
Senkrechte Asymptoten
Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)
\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)
gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\)
Waagrechte und schräge Asymptoten
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall
| \(m < n\): | die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote, |
| \(m = n\): | eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{a_{m}}{b_{n}}\), |
| \(m = n + 1\): | eine schräge Asymptote, |
| \(m > n + 1\): | keine waagrechte oder schräge Asymptote. |
\(x = 0\) ist Polstelle der gebrochenrationalen Funktion \(f\).
\(\Longrightarrow \quad\)Senkrechte Asymptote mit der Gleichung \(x = 0\)
Waagrechte oder schräge Asymptote(n):
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion kann für \(x \to +\infty\) bzw. \(x \to -\infty\) eine waagrechte oder schräge Asymptote besitzen.
Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Eine Funktion \(f(x) = \dfrac{z(x)}{n(x)} = \dfrac{a_{m}x^{m} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{b_{n}x^{n} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion. Die Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) können nicht in der Definitionsmenge \(D_{f}\) enthalten sein und werden als Definitionslücken bezeichnet.
Senkrechte Asymptoten
Wenn an einer Definitionslücke \(x_{0}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\)
\(\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{-}}f(x) = -\infty \\[0.8em] \text{und} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = +\infty \enspace &\text{oder} \enspace \lim \limits_{x\,\to\,x_{0}^{+}}f(x) = -\infty \end{align*}\)
gilt, so nennt man \(x_{0}\) eine Polstelle von \(f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = x_{0}\) senkrechte Asymptote des Graphen von \(f\)
Waagrechte und schräge Asymptoten
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat für \(x \to - \infty\) bzw. \(x \to + \infty\) im Fall
| \(m < n\): | die \(x\)-Achse \((y = 0)\) als waagrechte Asymptote, |
| \(m = n\): | eine waagrechte Asymptote parallel zur \(\boldsymbol{x}\)-Achse mit der Gleichung \(y = \dfrac{a_{m}}{b_{n}}\), |
| \(m = n + 1\): | eine schräge Asymptote, |
| \(m > n + 1\): | keine waagrechte oder schräge Asymptote. |
\[f(x) = \frac{4x + 4}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\]
Der Grad des Nennerpolynoms von \(f\) ist größer als der Grad des Zählerpolynoms. Folglich ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\) waagrechte Asymptote der gebrochenrationalen Funktion \(f\).
Dies lässt sich durch die Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x\,\to\,+\,\infty} f(x)\) bzw. \(\lim \limits_{x\,\to\,-\,\infty} f(x)\) bestätigen.
Für eine aussagekräftige Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} f(x)\) wird die höchste Potenz des Nennerpolynoms im Nenner und im Zähler ausgeklammert.
\[\begin{align*} \lim \limits_{x\,\to\,\pm\,\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,\pm\,\infty} \frac{4x + 4}{x^{2}} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,\pm\,\infty} \frac{\cancel{x^{2}} \cdot \Big( \overbrace{\frac{4}{x}}^{\to\,0} + \overbrace{\frac{4}{x^{2}}}^{\to\,0} \Big)}{\cancel{x^{2}} \cdot 1} & &| \; (x \neq 0) \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]
\(\Longrightarrow \quad\)Waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(y = 0\) (\(x\)-Achse)
b) Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems
Man bestimmt den Funktionsterm \(f(-x)\). Gilt \(f(-x) = f(x)\), ist \(G_{f}\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Gilt \(f(-x) = -f(x)\), ist \(G_{f}\) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung \(O(0|0)\). Trifft keiner der beiden Fälle zu, weist \(G_{f}\) keines der beiden Symmetrieverhalten auf.
Symmetrieverhalten
Symmetrieverhalten von Funktionsgraphen
\(f(-x) = f(x) \hspace{32px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse
\(f(-x) = -f(x) \hspace{20px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung
\[f(x) = \frac{4x + 4}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\]
\[f(-x) = \frac{4 \cdot (-x) + 4}{(-x)^{2}} = \frac{-4x + 4}{x^{2}}\]
\[\Longrightarrow \quad f(-x) \neq f(x); \; f(-x) \neq -f(x)\]
Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) ist weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
c) Ableitung der Funktion \(f\) mit der Produkt- als auch der Quotientenregel
\[f(x) = \frac{4x + 4}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\]
Mithilfe der Rechenregel für Potenzen \(a^{-n} = \frac{1}{a^{n}};\; a \in \mathbb R \backslash \{0\}, \; n \in \mathbb N\) lässt sich der Funktionsterm \(f(x)\) als Produkt formulieren.
\[f(x) = \frac{4x + 4}{x^{2}} = (4x + 4) \cdot x^{-2}\]
Neben der Produktregel bzw. der Quotientenregel wird die Ableitung einer Potenzfunktion sowie die Summen- und die Faktorregel benötigt, um die Funktion \(f\) abzuleiten.
Ableitung der Funktion \(f\) mithilfe der Quotientenregel:
\[f(x) = \frac{4x + 4}{x^{2}}\]
Ableitungsregeln
Quotientenregel
\[f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\]
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Faktorregel
\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)
Summenregel
\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[\left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\left[ v(x) \right]^{2}}\]
\[u(x) = 4x + 4; \; u'(x) = 4 + 0 = 4\]
\[v(x) = x^{2}; \; v'(x) = 2x\]
\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{4 \cdot x^{2} - (4x + 4) \cdot 2x}{\left( x^{2} \right)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{4x^{2} - 8x^{2} - 8x}{x^{4}} \\[0.8em] &= \frac{-4x^{2} - 8x}{x^{4}} \\[0.8em] &= \frac{\cancel{x} \cdot (-4x - 8)}{\cancel{x} \cdot x^{3}} \\[0.8em] &= \frac{-4x - 8}{x^{3}} \end{align*}\]
Ableitung der Funktion \(f\) mithilfe der Produktregel:
\[f(x) = (4x + 4) \cdot x^{-2}\]
Ableitungsregeln
Produktregel
\[f(x) = u(x) \cdot v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Faktorregel
\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)
Summenregel
\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[\left[u(x) \cdot v(x)\right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]
\[u(x) = 4x + 4; \; u'(x) = 4 + 0 = 4\]
\[v(x) = x^{-2}; \, v'(x) = -2x^{-3}\]
\[\begin{align*} f'(x) &= 4 \cdot x^{-2} + (4x + 4) \cdot (-2x^{-3}) \\[0.8em] &= 4x^{-2} - 8x^{-2} - 8x^{-3} \\[0.8em] &= -4x^{-2} - 8x^{-3} & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= -\frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}} \\[0.8em] &= -\frac{4 \cdot x}{x^{2} \cdot x} - \frac{8}{x^{3}} \\[0.8em] &= \frac{-4x - 8}{x^{3}} \end{align*}\]
d) Nullstelle(n) von \(f'\) und deren geometrische Bedeutung
\[f'(x) = \frac{-4x - 8}{x^{3}}\]
Ein Bruchterm ist gleich Null, wenn der Zählerterm gleich Null ist.
\[\begin{align*} f'(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad -4x - 8 &= 0 & &| + 8 \\[0.8em] -4x &= 8 & &| : (-4) \\[0.8em] x &= -2 \end{align*}\]
oder
\[\begin{align*} f'(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad -4x - 8 &= 0 \\[0.8em] -4 \cdot (x + 2) &= 0 \\[0.8em] x &= -2 \end{align*}\]
Geometrische Bedeutung der Nullstelle \(x = -2\) von \(f'\):
Die Ableitungsfunktion \(f'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen der Funktion \(f\). Das Ergebnis \(f'(-2) = 0\) bedeutet, dass der Graph der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = -2\) eine waagrechte Tangente hat. Dies lässt auf einen Extrem- oder Terrassenpunkt von \(G_{f}\) an der Stelle \(x = -2\) schließen.
e) Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 2\)
\[f(x) = \frac{4x + 4}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\]
\[P(2|f(2))\]
Der Ansatz für die Gleichung der Tangente \(T\) an der Stelle \(x = 2\) (im Punkt \(P(2|f(2))\)) kann mit der allgemeinen Geradengleichung oder mit der Tangentengleichung erfolgen.
1. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung
Allgemeine Geradengleichung
Allgemeine Geradengleichung
\[y = mx + t\]
Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.
\[T \colon y = m_{T} \cdot x + t\]
Die erste Ableitung \(f'\) an der Stelle \(x = 2\) beschreibt die Steigung \(m_{T}\) der Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(P(2|f(2))\).
Tangentensteigung
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an eine Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[m_{T} = f'(2)\]
Tangentensteigung \(m_{T}\) berechnen:
\(f'(x) = \dfrac{-4x - 8}{x^{3}}\) (vgl. Teilaufgabe c)
\[m_{T} = f'(2) = \dfrac{-4 \cdot 2 - 8}{2^{3}} = \dfrac{-16}{8} = -2\]
Damit ergibt sich die Gleichung der Tangente \(T\) zu:
\[T \colon y = -2x + t\]
\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente \(T\) bestimmen:
Die Tangente \(T\) berührt den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(P(2|f(2))\; (P \in T)\). Setzt man die Koordinaten des Punktes \(P\) in die Gleichung der Tangente \(T\) ein, lässt sich damit der \(y\)-Achsenabschnit \(t\) bestimmen. Vorab ist noch der Funktionswert \(f(2)\) zu berechnen.
\[f(x) = \frac{4x + 4}{x^{2}}\]
\[f(2) = \frac{4 \cdot 2 + 4}{2^{2}} = \frac{12}{4} = 3\]
\[\Longrightarrow \quad P(2|3)\]
\[\begin{align*} P \in T \colon 3 &= (-2) \cdot 2 + t \\[0.8em] 3 &= -4 + t & &| +4 \\[0.8em] 7 &= t \end{align*}\]
Gleichung der Tangente \(T\) angeben:
\[T \colon y = -2x + 7\]
2. Lösungsansatz: Tangentengleichung
Tangentengleichung
Gleichung einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\;(x_0|f(x_0)) \):
\[y = f'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f(x_{0})\]
\[P(2|f(2))\]
\[T \colon y = f'(2) \cdot (x - 2) + f(2)\]
Mit \(f'(2) = -2\) und \(f(2) = 3\) (vgl. 1. Lösungsansatz) folgt:
\[\begin{align*}T \colon y &= f'(2) \cdot (x - 2) + f(2) \\[0.8em] &= (-2) \cdot (x - 2) + 3 \\[0.8em] &= -2x + 4 + 3 \\[0.8em] &= -2x + 7 \end{align*}\]
