Lösung - Aufgabe 4

Ein Unternehmen stellt Tonerkassette für Laserdrucker her. Eine Tonerkassette vom Typ XL300 kostet in der Herstellung 40 Euro. Aus laufender Qualitätskontrolle ist bekannt, dass 4 % aller Tonerkassetten vom Typ XL300 defekt sind. Im Falle einer defekten Tonerkassette bekommt ein Kunde diese kostenlos ersetzt. Das Unternehmen möchte pro verkaufter Tonerkassette vonm Typ XL300 einen Gewinn in Höhe von 10 Euro erzielen.

Zu welchem Preis muss das Unternehmen eine Tonerkassette vom Typ XL300 anbieten?

Es sei \(G\) die Zufallsgröße, welche den Gewinn in Euro pro Tonerkassette vom Typ XL300 beschreibt.

Es sei \(x\) der gesuchte Verkaufspreis in Euro.

 

Damit das Unternehmen pro verkaufter Tonerkassette vom Typ XL300 einen Gewinn in Höhe von 10 Euro erzielt, muss der Erwartungswert \(E(G)\) der Zufallsgröße \(G\) den Wert \(10\) annehmen. Der Ansatz lautet also:

 

\[E(G) = 10\]

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(G\) (Gewinn):

(vgl. ABITUR SKRIPT 3.3.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung, Zufallsgrößen)

Wird eine funktionsfähige Tonerkassette verkauft, welche in der Herstellung 40 Euro kostet, setzt sich der Gewinn aus dem Verkaufspreis \(x\) abzüglich der Herstellungskosten zusammen.

 

\[g_{1} = x - 40\]

 

Wird eine defekte Tonerkassette verkauft, welche der Kunde kostenlos ersetzt bekommt, setzt sich der Gewinn aus dem Verkaufspreis \(x\) abzüglich der doppelten Herstellungskosten zusammen.

 

\[g_{2} = x - 2 \cdot 40 = x - 80\]

 

Laut Angabe sind 4 % aller Tonerkassetten vom Typ XL300 defekt. Also sind 96 % der Tonerkassetten funktionsfähig.

Es ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(G\):

 

\(G = g_{i}\) \(x - 40\) \(x - 80\)
\(P(G = g_{i})\) \(0{,}96\) \(0{,}04\)

 

Verkaufspreis \(x\) einer Tonerkassette von Typ XL300 berechnen:

\[\begin{align*} E(G) &= 10 \\[0.8em] g_{1} \cdot p_{1} + g_{2} \cdot p_{2} &= 10 \\[0.8em] (x - 40) \cdot 0{,}96 + (x - 80) \cdot 0{,}04 &= 10 \\[0.8em] 0{,}96x - 38{,}4 + 0{,}04x - 3{,}2 &= 10 \\[0.8em] x - 41{,}6 &= 10 &&| + 41{,}6 \\[0.8em] x = 51{,}6  \end{align*}\]

 

Um einen Gewinn in Höhe von 10 Euro pro verkaufter Tonerkassette vom Typ XL300 zu erzielen, muss das Unternehmen die Tonerkassette zum Verkaufspreis 51,60 Euro anbieten.

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