Teilaufgabe 4a

Bewertungen Abitur Lösungen 2011 G8 Analysis I

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Betrachtet wird die Aussage \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin(2x)\,dx = 0\).

Machen Sie ohne Rechnung anhand einer sorgfältigen Skizze plausibel, dass die Aussage wahr ist.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4a

Die Funktion \(h(x) = \sin (2x)\) ist gegenüber der Sinusfunktion \(f(x) = \sin x\) um den Faktor \(\frac{1}{2}\) in \(x\)-Richtung gestreckt (Stauchung).

Die Streckung (Stauchung) verändert die Periode \(p_h\) der Funktion \(h(x) = \sin(2x)\):

 

\[h(x) = \sin(2x) \quad \Longrightarrow \quad p_h = \frac{2\pi}{2} = \pi\]

 

Bestimmtes Integral als Flächenbilanz

 

Flächenbilanz der Sinusfunktion sin(2x)

Das bestimmte Integral \(\int_{0}^{\pi} \sin (2x)\,dx\) gibt den Wert der Flächenbilanz an. Da es die Fläche oberhalb der \(x\)-Achse positiv und die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse negativ zählt, ist die Flächenbilanz gleich Null.

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