Teilaufgabe 4b

Weisen Sie mithilfe einer Stammfunktion die Gültigkeit der Aussage durch Rechnung nach.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4b

 

Bestimmtes Integral

 

\[\int_{0}^{\pi} \sin(2x)\,dx = 0\]

 

Stammfunktion von \(\sin(2x)\) bestimmen:

\[f(ax + b) = \sin(2x) \quad \Longrightarrow \quad ax +b = 2x \quad \Longrightarrow \quad a = 2, \enspace b = 0\]

 

\[f(x) = \sin x \quad \Longrightarrow \quad F(x) = -\cos x\]

 

\[\Longrightarrow \quad \int \sin(2x)~dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Für \(C = 0\) ist \(H(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x)\) eine Stammfunktion von \(h(x) = \sin(2x)\).

 

Bestimmtes Integral berechnen:

\[\begin{align*} \int_{0}^{\pi} \sin(2x)\;dx &= \left [ -\frac{1}{2} \cos(2x) \right ]_{0}^{\pi} \\[0.8em] &= -\frac{1}{2} \underbrace{\cos(2\pi)}_{1} - \bigg ( -\frac{1}{2} \underbrace{\cos(2 \cdot 0)}_{1} \bigg ) \\[0.8em] &= -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 4a