Teilaufgabe 1d

Bewertungen Abitur Lösungen 2011 G8 Analysis I

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Weisen Sie nach, dass die Verbindungsstrecke \([PQ_E]\) und die Tangente an \(G_f\) im Punkt \(Q_E\) senkrecht zueinander sind.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

Überlegung:

Wenn die Verbindungsstrecke \([PQ_E]\) und die Tangente an \(G_f\) im Punkt \(Q_E\) senkrecht zueinander sind, dann ist die Gerade durch die Punkte \(P\) und \(Q_E\) die Normale von \(G_f\) im Punkt \(Q_E\).

 

Gleichung der Tangente an \(G_f\) im Punkt \(Q_E\)

 

1. Lösungsansatz: Tangentengleichung

\[T\,\colon\, y = f'(x_{E}) \cdot (x - x_{E}) + f(x_{E})\]

\(x_{E} = 1\,, \enspace Q_{E}\,(1|2)\) (siehe Teilaufgabe 1c)

 

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

\[\begin {align*} f(x) = \sqrt{x + 3} = (x + 3)^{\frac{1}{2}} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) &= \frac{1}{2} \cdot (x + 3)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 \\[0.8em] &= \frac{1}{2\sqrt{x + 3}} \end {align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad f'(x_E) = f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1 + 3}} = \frac{1}{4}\]

 

Mit \(x_E = 1, \enspace f'(x_E) = \frac{1}{4}\) und \(f(x_E) = 2\) folgt:

 

\[\begin{align*}y &= f'(x_{E}) \cdot (x - x_E) + f(x_E) \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot (x - 1) + 2 \\[0.8em] &= \frac{1}{4}x + \frac{7}{4} \end{align*}\]

 

\[T\,\colon\, y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{4}\]

 

2. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung

\[T\,\colon\,y = m_{T} \cdot x + t\,; \quad Q_E\,(1|2)\]

 

Tangentensteigung bestimmen:

\[m_{T} = f'(x_E) = f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1 + 3}} = \frac{1}{4}\]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:

 

\[\begin{align*} Q_{E} \in T\,\colon & & 2 &= \frac{1}{4} \cdot 1 + t \\[0.8em] & & 2 &= \frac{1}{4} + t & &| -\frac{1}{4} \\[0.8em]  & & \frac{7}{4} &= t \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{4}\]

 

Steigung \(m_{PQ_E}\) der Geraden \(PQ_E\)

 

\(P\,(1{,}5|0)\,,\enspace Q_{E}(1|2)\) (siehe Teiiaufgaben 1b,c)

 

\[m_{PQ_E} = \frac{y_{Q_E} - y_P}{x_{Q_E} - x_P} = \frac{2 - 0}{1 - 1{,}5} = \frac{2}{-0{,}5} = -4\]

\[m_{T} = \frac{1}{4}; \quad m_{N} = -\frac{1}{\frac{1}{4}} = -4 = m_{PQ_E}\]

 

Die Gerade \(PQ_E\) ist die Normale \(N\) zur Tangente \(T\) im Punkt \(Q_E\). Folglich sind die Verbindungsstrecke \([PQ_E]\) und die Tangente \(T\) senkrecht zueinander.

Tangente und Normale an die Funktion f im Punkt Q

Die Gerade \(PQ_E\) bzw. die Strecke \([PQ_{E}]\) und die Tangente \(T\) stehen senkrecht zueinander.

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