Teilaufgabe 1c

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an \(G_f\) im Punkt \((0|6)\). Skizzieren Sie \(G_f\) unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignet anzulegendes Koordinatensystem.

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

\[f(x) = 6 \cdot e^{-0{,}5x} + x\,; \quad D_{f} = \mathbb R\]

 

1. Lösungsansatz: Tangentengleichung

\[T\,\colon\, y = f'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f(x_{0})\]

\[x_0 = 0\]

 

\(f'(x) = -3 \cdot e^{-0{,}5x} + 1\) (siehe Teilaufgabe 1a)

 

\[f'(x_0) = f'(0) = -3 \cdot \underbrace{e^{-0{,}5 \cdot 0}}_{1} + 1 = -2\]

\[f(x_0) = f(0) = 6 \cdot \underbrace{e^{-0{,}5 \cdot 0}}_{1} + 0 = 6\]

 

\[\begin{align*} y &= f'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f(x_{0}) \\[0.8em] &= (-2) \cdot (x - 0) + 6 \\[0.8em] &= -2x + 6 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\,y = -2x + 6\]

 

2. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung

\[T\,\colon\,y = m_{T} \cdot x + t\,; \quad P\,(0|6)\]

 

Tangentensteigung bestimmen:

\[m_{T} = f'(0) = -3 \cdot \underbrace{e^{-0{,}5 \cdot 0}}_{1} + 1 = -2\]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:

 

\[\begin{align*} P \in T\,\colon & & 6 &= (-2) \cdot 0 + t \\[0.8em] && 6 &= t \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -2x + 6\]

 

Verlauf des Graphen der Funktion f, Tangente an den Graphen von  f im Punkt (0|6)

Verlauf von \(G_f\), Tangente \(T\) an \(G_{f}\) im Punkt \((0|6)\)

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