Teilaufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f \colon x \mapsto \frac{2x + 3}{x^2 + 4x + 3}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\). Bestimmen Sie \(D\) sowie die Nullstelle vom \(f\,\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1

 

\[f(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 4x + 3}\]

 

Maximale Definitionsmenge \(D\) von \(f\)

 

Die Nullstellen des Nennerterms der gebrochenrationalen Funktion \(f\) (Polstellen) schränken die Definitionsmenge ein.

 

\[\Longrightarrow \quad x^2 + 4x + 3 \overset{!}{=} 0\]

\[a = 1\,, \quad b = 4\, \quad c = 3\]

 

\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} \\[0.8em] &= \frac{-4 \pm 2}{2} \end{align*}\]

 

\[x_1 = -1 \quad \wedge \quad x_2 = -3\]

 

\[\Longrightarrow \quad D = \mathbb R \, \backslash \, \{-3;-1\}\]

 

Nullstelle von \(f\)

 

Zählerterm gleich Null setzen:

 

\[2x + 3 \overset{!}{=} 0\]

 

\[\begin{align*} 2x + 3 &= 0 & &| -3 \\[0.8em] 2x &= -3 & &| :2 \\[0.8em] x &= -\frac{3}{2} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad x_N = -\frac{3}{2}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: Teilaufgabe 2a »