Teilaufgabe 3c

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer der zehn Kandidaten keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3c

 

Binomialverteilung

Zufallsgröße \(K \colon \enspace\) "Anzahl der Kandidaten, die keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen müssen"

 

Analyse der Angabe:

 

"... der zehn Kandidaten ..."

\(\Longrightarrow \quad n = 10\)

 

"... keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss."

\(\Longrightarrow \quad p = P(X = 0) = \frac{1}{9}\,\) (siehe Teilaufgabe 3b)

 

"... Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer der zehn Kandidaten ..."

\(\Longrightarrow \quad K = 1\)

 

Die Zufallsgröße \(K\) ist nach \(B(10;\frac{1}{9})\) binomialverteilt.

Das Stochastische Tafelwerk mit Abiturzulassung beinhaltet keine Binomialverteilung für eine Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{9}\,\). Die Wahrscheinlichkeit \(P^{10}_{\frac{1}{9}}(K = 1)\) muss errechnet werden.

 

Anwenden der Formel von Bernoulli:

\[\begin{align*}P^{10}_{\frac{1}{9}}(K = 1) &= B(10; \frac{1}{9}; 1) \\[0.8em] &= \binom{10}{1} \cdot \left( \frac{1}{9} \right)^1 \cdot \left(1 - \frac{1}{9} \right)^{10 - 1} \\[0.8em] &= 10 \cdot \frac{1}{9} \cdot \left( \frac{8}{9} \right)^9 \\[0.8em] &\approx 0{,}385 = 38{,}5\,\%\end{align*}\]

 

Binomialverteilung B(10;1/9;k): Wahrscheinlichkeit P(K = 1)

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