Teilaufgabe d

Die Seitenfläche \(PQRS\) liegt in einer Ebene \(F\). Bestimmen Sie, ohne zu rechnen, eine Gleichung von \(F\) in Normalenform; erläutern Sie Ihr Vorgehen.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe d

 

  • Lage der Ebene F zur Ebene E - Grafik 1
    Lage der Ebene F zur Ebene E - Grafik 1
  • Lage der Ebene F zur Ebene E - Grafik 2
    Lage der Ebene F zur Ebene E - Grafik 2
  • Lage der Ebene F zur Ebene E - Grafik 1
  • Lage der Ebene F zur Ebene E - Grafik 2

Die Seitenflächen \(ABCD\) und \(PQRS\) des Spats \(ABCDPQRS\) sind zueinander parallel. Folglich liegt die Ebene \(F\) parallel zur Ebene \(E\) und es gilt: \(\overrightarrow{n}_{F} = \overrightarrow{n}_{E}\).

Die Ebene \(F\) enthält den Koordinatenursprung \(P\,(0|0|0)\). Das bedeutet, dass der konstante Summand \(n_0\) der Ebenengleichung von \(F\) in Normalenform in Koordinatendarstellung gleich Null ist.

\[E\,\colon\;3x_1 + 4x_3 - 84 = 0\]

\[F\,\colon\; n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 + n_0 = 0\]

 

\[\left. \begin{align*} &F \parallel E \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_F = \overrightarrow{n}_E \\[0.8em] &P\,(0|0|0) \in F \quad \Longrightarrow \quad n_0 = 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace F\,\colon\; 3x_1 + 4x_3 = 0\]

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