Teilaufgabe d

Die Seitenfläche \(PQRS\) liegt in einer Ebene \(F\). Bestimmen Sie, ohne zu rechnen, eine Gleichung von \(F\) in Normalenform; erläutern Sie Ihr Vorgehen.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe d

 

  • Lage der Ebene F zur Ebene E - Grafik 1
    Lage der Ebene F zur Ebene E - Grafik 1
  • Lage der Ebene F zur Ebene E - Grafik 2
    Lage der Ebene F zur Ebene E - Grafik 2
  • Lage der Ebene F zur Ebene E - Grafik 1
  • Lage der Ebene F zur Ebene E - Grafik 2

Die Seitenflächen \(ABCD\) und \(PQRS\) des Spats \(ABCDPQRS\) sind parallel. Folglich liegt die Ebene \(F\) parallel zur Ebene \(E\) und die Ebenengleichungen beider Ebenen werden durch denselben Normalenvektor beschrieben.

Die Ebene \(F\) enthält den Koordinatenursprung \(P\,(0|0|0)\). Das bedeutet, dass der konstante Summand \(n_0\) der Ebenengleichung von \(F\) in Normalenform in Koordinatendarstellung gleich Null sein muss.

 

\[E\,\colon\;3x_1 + 4x_3 - 84 = 0\]

\[F\,\colon\; n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 + n_0 = 0\]

 

\[\left. \begin{align*} &F \parallel E \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_F = \overrightarrow{n}_E \\[0.8em] &P\,(0|0|0) \in F \quad \Longrightarrow \quad n_0 = 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace F\,\colon\; 3x_1 + 4x_3 = 0\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe c Teilaufgabe e »