Teilaufgabe g

Lösung zu Teilaufgabe g

 

\[H\,(11|3|6) \quad H \in DCRS\]

 

Gleichung der Geraden \(h\)

 

Gerade \(h\) durch den Punkt \(H\) und den Mittelpunkt der Diagonalen \([AQ]\) und \([BP]\) der Grundfläche \(ABQP\) des Spats

 

Es sei \(H\) der Aufpunkt der Geraden \(h\) und \(Z\) der Mittelpunkt der Diagonalen \([AQ]\) und \([BP]\).

 

\[h\,\colon\; \overrightarrow{X} = \overrightarrow{H} + \lambda \cdot \overrightarrow{HZ}\]

 

Mittelpunkt \(Z\) der Diagonalen \([AQ]\) und \([BP]\) berechnen:

\[B\,(28|10|0), \enspace P\,(0|0|0)\]

\[\overrightarrow{Z} = \frac{1}{2} \cdot \left(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{P}\right) = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{B} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 28 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

Richtungsvektor \(\overrightarrow{HZ}\) der Geraden \(h\) berechnen:

 

\[\overrightarrow{HZ} = \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{H} = \begin{pmatrix} 14 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 11 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad h\,\colon\; \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 11 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}\]

 

Koordinaten des Punkts, in dem die Stange in der Bohrung endet

 

Länge der Stahlstange: 1,4 m

Die Stahlstange ragt zu drei Vierteln aus der Deckfläche heraus, d.h. sie reicht zu einem Viertel in die Bohrung hinein.

 

\[\frac{1}{4} \cdot 1{,}4\,\text{m} = \frac{7}{20}\,\text{m} = 0{,}35\,\text{m}\]

\[0{,}1\,\text{m} \,\mathrel{\widehat{=}} \, 1\,\text{LE} \quad \Longrightarrow \quad 0{,}35\,\text{m} \mathrel{\widehat{=}} \, 3{,}5\,\text{LE}\]

 

Es sei \(E\) der Punkt in dem die Stahlstange in der Bohrung endet.

\[\overline{HE} = 3{,}5\,\text{LE}\]

 

1.Lösungsansatz: Einheitsvektor des Richtungsvektors der Geraden \(h\)

 

Den Ortsvektor \(\overrightarrow{E}\) bestimmt man, indem man zum Ortsvektor \(\overrightarrow{H}\) das 3,5-fache des Einheitsvektors \(\overrightarrow{HZ}^0\) des Richtungsvektors \(\overrightarrow{HZ}\) der Geraden \(h\) addiert.

 

\[\overrightarrow{E} = \overrightarrow{H} + 3{,}5 \cdot \overrightarrow{HZ}^0\]

 

Einheitsvektor \(\overrightarrow{HZ}^0\) berechnen:

\[\overrightarrow{HZ}^0 = \frac{\overrightarrow{HZ}}{\vert \overrightarrow{HZ} \vert} = \frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}}{\sqrt{3^2 + 2^2 + (-6)^2}} = \frac{1}{7} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}\]

 

Koordinaten des Punktes \(E\) berechnen:

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{E} &= \overrightarrow{H} + 3{,}5 \cdot \overrightarrow{HZ}^0 \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 11 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} + 3{,}5 \cdot \frac{1}{7} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 11 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 12{,}5 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad E\,(12{,}5|4|3)\]

 

2.Lösungsansatz: Länge einer Strecke entlang einer Geraden

 

\[\overline{HE} = 3{,}5\,\text{LE}\]

 

\[E \in h\,; \quad h\,\colon\; \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 11 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}\]

 

Der Ortsvektor \(\overrightarrow{E}\) lässt sich in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) der Geradengleichung von \(h\) formulieren.

 

\[\overrightarrow{E}(\lambda) = \begin{pmatrix} 11 + 3\lambda \\ 3 + 2\lambda \\ 6 - 6\lambda \end{pmatrix}\]

 

Länge der Strecke \([HE]\) in Abhängigkeit des Parametres \(\lambda\) beschreiben:

\[\begin{align*} \overline{HE}(\lambda) &= \vert \overrightarrow{HE}(\lambda) \vert \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{E}(\lambda) - \overrightarrow{H} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 11 + 3\lambda \\ 3 + 2\lambda \\ 6 - 6\lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 11 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 3\lambda \\ 2\lambda \\ -6\lambda \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(3\lambda)^2 + (2\lambda)^2 + (-6\lambda)^2} \\[0.8em] &= \sqrt{9\lambda^2 + 4\lambda^2 + 36\lambda^2} \\[0.8em] &= \sqrt{49\lambda^2} \\[0.8em] &= \pm 7\lambda \end{align*}\]

 

Parameterwerte für \(\lambda\) bestimmen:

 

\[\overline{HE}(\lambda) = 3{,}5\]

 

\[\begin{align*} 7\lambda &= 3{,}5 & &| : 7 & &\vee & -7\lambda &= 3{,}5 & &| : (-7) \\[0.8em] \lambda &= \frac{1}{2} & & & & & \lambda &= -\frac{1}{2}   \end{align*}\]

 

Parameterwerte \(\displaystyle \lambda = \pm \frac{1}{2}\) in \(\overrightarrow{E}(\lambda)\) einsetzen:

 

\[\overrightarrow{E}(\lambda) = \begin{pmatrix} 11 + 3\lambda \\ 3 + 2\lambda \\ 6 - 6\lambda \end{pmatrix}\]

 

\[\overrightarrow{E}_1 = \begin{pmatrix} 11 + 3 \cdot \frac{1}{2} \\ 3 + 2 \cdot \frac{1}{2} \\ 6 - 6 \cdot \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12{,}5 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\]

\[\Longrightarrow \quad E_1\,(12{,}5|4|3)\]

 

\[\overrightarrow{E}_2 = \begin{pmatrix} 11 + 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ 3 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ 6 - 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9{,}5 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix}\]

\[\Longrightarrow \quad E_2\,(9{,}5|2|9)\]

 

Der Punkt \(E_2\) kommt nicht in Frage, da er mit \(x_{3_{E_2}} = 9\) höher als der Punkt \(H\,(11|3|6)\) liegt. Der gesuchte Punkt ist \(E_1\,(12{,}5|4|3)\).