Teilaufgabe 1b

Die südliche Außenwand des Pavillons liegt im Modell in einer Ebene \(E\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E\;\colon\, 4x_2 + 3x_3 - 48 = 0\)) 

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Das Dreieck BCS beschreibt die südliche Außenwand des Pavillons und repräsentiert somit die Ebene E

Das Dreieck \(BCS\) beschreibt die südliche Außenwand des Pavillons (siehe Angabe) und repräsentiert somit die Ebene \(E\).

Richtungsvektoren der Ebene \(E\) bestimmen:

Z.B. sind \(\overrightarrow{BC}\) und \(\overrightarrow{BS}\) zwei linear unabhängige Vektoren der Ebene \(E\).

 

\[B\,(12|12|0)\,, \enspace C\,(0|12|0)\,, \enspace S\,(6|6|8)\]

 

\[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} = \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 12 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{u}_E = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

\[\overrightarrow{BS} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{B} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ 8 \end{pmatrix} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \]

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{v}_E = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_E\) der Ebene \(E\) bestimmen:

\[\begin{align*} \overrightarrow{u}_E \times \overrightarrow{v}_E &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 & \cdot & (-4) & - & 0 & \cdot & 3 \\ 0 & \cdot & 3 & - & 1 & \cdot & (-4) \\ 1 & \cdot & 3 & - & 0 & \cdot & 3 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_E = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\]

 

Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung aufstellen:

Es sei \(C\,(0|12|0)\) der Aufpunkt der Ebene \(E\).

 

\[\begin {align*} \Longrightarrow \quad &E \, \colon \; \overrightarrow{n}_E \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{C} \right) = 0 \\[0.8em] &E \, \colon \; \begin {pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin {pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end {pmatrix} \right] = 0 \end {align*}\]

 

Ebenengleichung in Normalenform in Koordinatendarstellung bestimmen:

\[\begin {align*} \begin {pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin {pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 0 \cdot (x_1 - 0) + 4 \cdot (x_2 - 12) + 3 \cdot (x_3 - 0) &= 0 \\[0.8em] 4x_2 - 48 + 3x_3 &= 0 \end {align*}\]

 

\[E\,\colon\: 4x_2 + 3x_3 - 48 = 0\]

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