Teilaufgabe 4

Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in \(\mathbb R\) definierten differenziebaren Funktion \(g \colon x \mapsto g(x)\). Mithilfe des Newton-Verfahrens soll ein Näherungswert für die Nullstelle \(a\) von \(g\) ermittelt werden. Begründen Sie, dass weder die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts \(H\) noch die \(x\)-Koordinate des Tiefpunkts \(T\) als Startwert des Newton-Verfahrens gewählt werden kann.
Abbildung 2 zu Teilaufgabe 4 Analysis 1 Prüfungsteil A Mathematik Abitur Bayern 2015Abb. 2

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4

 

Newton-Verfahren

Begründung mithilfe der Newtonschen Iterationsformel:

\[x_{n + 1} = x_{0} - \frac{g(x_{0})}{g'(x_{0})}\,; \enspace g'(x_{0}) \neq 0\]

Wegen \(g'(x_{H}) = 0\) bzw. \(g'(x_{T}) = 0\) kann weder die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts \(H\) noch die \(x\)-Koordinate des Tiefpunkts \(T\) als Startwert gewählt werden.

 

Graphische Begründung:

Das Newton-Verfahren errechnet einen Näherungswert für die Nullstelle einer Funktion, indem es die Nullstelle (Schnittstelle mit der \(x\)-Achse) der Tangente an die Funktion an der Stelle \(x_{0}\) (Startwert) ermittelt. Da die Tangente an eine Funktion an den Extremstellen waagrecht (parallel zur \(x\)-Achse) verläuft, existiert keine Nullstelle der Tangente und somit auch kein Näherungswert.

Newton-Verfahren: Näherungswert für die Nullstelle a von g

Newton-Verfahren: Die Tangente an den Graphen der Funktion \(g\) an der Stelle \(x_{0}\) (Startwert) schneidet die \(x\)-Achse an der Stelle \(x_{1}\), einem ersten Näherungswert für die Nullstelle \(a\) der Funktion \(g\). Die Extremstellen \(x_{H}\) und \(x_{T}\) können nicht als Startwert gewählt werden, da die Tangenten an \(G_{g}\) an den Extremstellen waagrecht verlaufen und folglich die \(x\)-Achse nicht schneiden.

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