Ermitteln Sie den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft \(-30\frac{\textsf{1}}{\textsf{h}}\) beträgt.
(2 BE)
Teilaufgabe 4b
Lösung zu Teilaufgabe 4b
Momentane Änderungsrate im Sachzusammenhang
\[n(t) = 3t^{2} - 60t + 500\]
\[t \in [0;10]\]
Die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft zu einem bestimmten Zeitpunkt \(t\) entspricht der Steigung \(m_{T}\) einer gedachten Tangente \(T\) im Punkt \((t|n(t))\) des Graphen \(G_{n}\) der Funktion \(n(t)\) (Einheit: \(\frac{1}{\sf{h}}\)).
Die erste Ableitung \(n'(t)\) der Funktion \(n(t)\) beschreibt die Steigung \(m_{T}\) der Tangente \(T\) im Punkt \((t|n(t))\). Das heißt, im Sachzusammenhang beschreibt die erste Ableitung \(n'(t)\) die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft. Sie gibt für einen betrachteten Zeitpunkt \(t\) die momentane Änderung der Anzahl der Pollen pro Stunde in einem Kubikmeter Luft an (Zunahme: positive momentane Änderungsrate, Abnahme: negative momentane Änderungsrate).
Gesucht ist der Zeitpunkt \(t\) zu dem die momentane Änderungsrate \(n'(t)\) den Wert \(-30\,\frac{1}{\sf{h}}\) annimmt.
\[\Longrightarrow \quad n'(t) = -30\]
Erste Ableitung \(n'\) der Funktion \(n\) bilden:
Die erste Ableitung \(n'\) der Funktion \(n\) wird mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel formuliert.
\[n(t) = 3t^{2} - 60t + 500\]
\[\begin{align*} n'(t) &= 3 \cdot 2 \cdot t - 60 + 0 \\[0.8em] &= 6t - 60 \end{align*}\]
Zeitpunkt \(t\) ermitteln:
\[\begin{align*} n'(t) &= -30 \\[0.8em] 6t - 60 &= -30 & &| + 60 \\[0.8em] 6t &= 30 & &| : 6 \\[0.8em] t &= 5 \end{align*}\]
Fünf Stunden nach Beginn der Messung nimmt die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft um 30 Pollen pro Stunde ab.
Graphische Veranschaulichung: Die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft entspricht der Steigung \(m_{T}\) der Tangente \(T\) an den Graphen \(G_{n}\) der Funktion \(n(t)\) an der Stelle \(t = 5\) (zum Zeitpunkt \(t = 5\,\sf{h}\)).
