Teilaufgabe 2a

Gegeben ist die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\).

Der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Spurpunkte einer Ebene, Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks

 

Dreieck, das die Schnittpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen sowie der Koordinatenursprung festlegen 

Planskizze: Die Schnittpunkte \(S_{x_{1}}\) und \(S_{x_{2}}\) der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse bzw. mit der \(x_{2}\)-Achse (Spurpunkte der Ebene \(E\)) bilden zusammen mit dem Koordinatenursprung das rechtwinklige Dreieck \(OS_{x_{1}}S_{x_{2}}\) mit den Katheten \([OS_{x_{1}}]\) und \([OS_{x_{2}}]\).

 

Koordinaten der Spurpunkte \(S_{x_{1}}\) und \(S_{x_{2}}\) berechnen:

 

\[E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\]

 

Der Spurpunkt \(S_{x_{1}}\) der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse hat die Koordinaten \(S_{x_{1}}(x_{1}|0|0)\).

 

\[\begin{align*}S_{x_{1}} \in E \colon 2x_{1} + 0 - 2 \cdot 0 &= -18 \\[0.8em] 2x_{1} &= -18 & &| : 2 \\[0.8em] x_{1} &= -9 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{x_{1}}(-9|0|0)\]

 

Der Spurpunkt \(S_{x_{2}}\) der Ebene \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse hat die Koordinaten \(S_{x_{2}}(0|x_{2}|0)\).

 

\[\begin{align*} S_{x_{2}} \in E \colon 2 \cdot 0 + x_{2} - 2 \cdot 0 &= -18 \\[0.8em] x_{2} &= -18 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{x_{2}}(0|-18|0)\]

 

Flächeninhalt \(A\) des Dreiecks \(OS_{x_{1}}S_{x_{2}}\) berechnen:

 

\[\begin{align*} A&= \frac{1}{2} \cdot \overline{OS_{x_{1}}} \cdot \overline{OS_{x_{2}}} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \vert \overrightarrow{S_{x_{1}}} \vert \cdot \vert \overrightarrow{S_{x_{2}}}  \vert \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ -18 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-9)^{2} + 0^{2} + 0^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + (-18)^{2} + 0^{2}} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 18 \\[0.8em] &= 81 \end{align*}\]

 

Alternative: Flächeninhalt \(A\) mithilfe des Vektorprodukts berechnen:

Der Vollständigkeit halber sei diese hier eher umständliche Alternative erwähnt.

\[\begin{align*} A&= \frac{1}{2} \cdot \left| \overrightarrow{S_{x_{1}}} \times \overrightarrow{S_{x_{2}}} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ -18 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 & \cdot & 0 & - & 0 & \cdot & (-18) \\ 0 & \cdot & 0 & - & (-9) & \cdot & 0 \\ (-9) & \cdot & (-18) & - & 0 & \cdot & 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 162 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 162^{2}} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot 162 \\[0.8em] &= 81 \end{align*}\]

 

Der Flächeninhalt des Dreiecks, das der Schnittpunkt der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt der Ebene \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung festlegen, beträgt 81 FE (Flächeneinheiten).

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