Teilaufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{e^{2x}}{x}\) mit dem Definitionsbereich \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\).

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von f.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1

 

\[f(x) = \frac{e^{2x}}{x};\; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\]

 

Bestimmung der Lage des Extrempunkts

 

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt des Graphen von \(f\) lautet:

\[f'(x) = 0\]

 

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Hierfür wird die Quotientenregel, die Kettenregel, die Ableitung der Natürlichen Exponentialfunktion sowie die Ableitung einer Potenzfunktion benötigt.

 

\[f(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{e^{2x}}}{\textcolor{#cc071e}{x}}\]

\[\begin{align*}f'(x) &= \frac{\overbrace{\textcolor{#0087c1}{e^{2x} \cdot 2}}^{\text{Kettenregel}} \cdot \textcolor{#cc071e}{x} - \textcolor{#0087c1}{e^{2x}} \cdot \textcolor{#cc071e}{1}}{\textcolor{#cc071e}{x^{2}}} & &| \; e^{2x} \; \text{ausklammern} \\[0.8em] &= \frac{e^{2x} \cdot (2 x - 1)}{x^{2}} \end{align*}\]

 

Nullstelle von \(f'\) berechnen:

Ein Quotient ist gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist.

 

\[\begin{align*} f'(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \underbrace{e^{2x}}_{>\,0} \cdot (2x - 1) &= 0 \\[0.8em] 2x - 1 &= 0 &&| + 1 \\[0.8em] 2x &= 1 &&| : 2 \\[0.8em] x &= 0{,}5 \end{align*}\]

 

Somit besitzt der Graph von \(f\) an der Stelle \(x = 0{,}5\) eine waagrechte Tangente und der Punkt \((0{,}5|f(0{,}5))\) ist Extrempunkt des Graphen von \(f\).

 

\(y\)-Koordinate des Extrempunkts berechnen:

 

\[f(0{,}5) = \frac{e^{2 \cdot 0{,}5}}{0{,}5} = \frac{e}{0{,}5} = 2e\]

 

Der Graph von \(f\) hat den Extrempunkt \((0{,}5|2e)\).

 

Bestimmung der Art des Extrempunkts

Die Bestimmung der Art des Extrempunkts kann mithilfe einer Monotonietabelle (kürzer, schneller) oder mithilfe der zweiten Ableitung \(f''\) erfolgen (deutlich zeitaufwendiger).

 

1. Möglichkeit: Monotonietabelle

Es wird der Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\) an der Stelle \(x = 0{,}5\) untersucht und anhand des Monotoniekriteriums das Monotonieverhalten des Graphen von \(f\) betrachtet.

\[f'(x) = \frac{\overbrace{e^{2x}}^{>\,0} \cdot (2x - 1)}{\underbrace{x^{2}}_{>\,0}}\]

 

Der Faktor \((2x - 1)\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\) an der Stelle \(x = 0{,}5\).

 

\(x\) \(0 < x < 0{,}5\) \(0{,}5\) \(x > 0{,}5\)
\(e^{2x}\) \(+\) \(+\) \(+\)
\((2x - 1)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(x^{2}\) \(+\) \(+\) \(+\)
\(f'(x)\) \(\textcolor{#cc071e}{\Large{-}}\) \(0\) \(\textcolor{#0087c1}{\Large{+}}\)
\(G_{f}\) \(\textcolor{#cc071e}{\Large{\searrow}}\) \(T(0{,}5|2e)\) \(\textcolor{#0087c1}{\Large{\nearrow}}\)

 

2. Möglichkeit: Art eines Extrempunkts mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen

Das Vorzeichen von \(f''(0{,}5)\) bestimmt das Krümmungsverhalten des Graphen von \(f\) an der Stelle \(x = 0{,}5\) und lässt damit auf die Art des Extrempunkts schließen.

Die zweite Ableitung \(f''\) kann mithilfe der Quotientenregel, der Produktregel und der Kettenregel sowie der Ableitung der Natürlichen Exponentialfunktion und der Ableitung einer Potenzfunktion gebildet werden.

 

\[f'(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{e^{2x} \cdot (2x - 1)}}{\textcolor{#cc071e}{x^{2}}}\]

\[\begin{align*} f''(x) &= \frac{\overbrace{\textcolor{#0087c1}{\left[ e^{2x} \cdot 2 \cdot (2x - 1) + e^{2x} \cdot 2 \right]}}^{\text{Produktregel}} \cdot \textcolor{#cc071e}{x^{2}} - \textcolor{#0087c1}{e^{2x} \cdot (2x - 1)} \cdot \textcolor{#cc071e}{2x}}{\textcolor{#cc071e}{x^{4}}} &&| \; x \; \text{ausklammern und kürzen} \; (x \neq 0) \\[0.8em] &= \frac{\cancel{x} \cdot \left( \left[ 2e^{2x} \cdot (2x - 1) + 2e^{2x} \right] \cdot x - 2e^{2x} \cdot (2x - 1)\right)}{x^{\cancelto{3}{4}}} \\[0.8em] &= \frac{2e^{2x} \cdot (2x^{2} - x) + 2e^{2x} \cdot x - 2e^{2x} \cdot (2x - 1)}{x^{3}} &&| \; 2e^{2x} \; \text{ausklammern} \\[0.8em] &= \frac{2e^{2x} \cdot \left( 2x^{2} - x + x - 2x + 1  \right)}{x^{3}} \\[0.8em] &= \frac{2e^{2x} \cdot \left( 2x^{2} - 2x + 1 \right) }{x^{3}} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\textcolor{#89ba17}{f''(0{,}5)} &= \frac{2e^{2 \cdot 0{,}5} \cdot \left( 2 \cdot 0{,}5^{2} - 2 \cdot 0{,}5 + 1 \right) }{0{,}5^{3}} \\[0.8em] &= \frac{2e \cdot (0{,}5) - 1 + 1}{0{,}125} \\[0.8em] &= \frac{e}{0{,}125} \textcolor{#89ba17}{> 0}\end{align*}\]

 

Somit hat der Graph von \(f\) den Tiefpunkt \(T(0{,}5|2e)\). 

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