Teilaufgabe 2d

Berechnen Sie das arithmetische Mittel der beiden in den Aufgaben 2b und 2c berechneten Näherungswerte. Skizzieren Sie den Graphen von \(F\) für \(0 \leq x \leq 3\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2d

 

Arithmetisches Mittel der beiden Näherungswerte für \(F(1)\)

Näherungswert aus Teilaufgabe 2b: \(F(1) \approx -0{,}5\)

Näherungswert aus Teilaufgabe 2c: \(F(1) \approx -\dfrac{2}{\pi}\)

\[\frac{-0{,}5 + \left( -\frac{2}{\pi} \right)}{2} \approx -0{,}57\]

 

Skizzieren des Graphen von \(F\) für \(0 \leq x \leq 3\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse

Bisherige Ergebnisse:

● \(x = 0\) ist Nullstelle von \(F\) (vgl. Teilaufgabe 2a).

● Im Intervall \([1;3]\) hat \(F\) eine weitere Nullstelle bei \(x \approx 2{,}3\) (vgl. Teilaufgabe 2a)

● Der Punkt \((-1|F(-1))\) ist Hochpunkt von \(G_{F}\) (vgl. Teilaufgabe 2a). Analog lässt sich schlussfolgern, dass der Punkt \((1|F(1))\) Tiefpunkt von \(G_{f}\) ist. 

● \(F(1) \approx -0{,}57\) (vgl. oben)

Graph der Integralfunktion F im Bereich 0 ≤ x ≤ 3

Graph der Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{0}^{x}f(t)dt\) im Bereich \(0 \leq x \leq 3\)

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

In Teilaufgabe 2a wurde erklärt, weshalb der Punkt \((-1|F(-1))\) ein Hochpunkt von \(G_{F}\) ist. Analog dazu lässt sich begründen, weshalb der Punkt \((1|F(1))\) ein Tiefpunkt von \(G_{F}\) ist.

Graph der Integralfunktion F im Bereich 0 ≤ x ≤ 3, Nullstellen x = 0 und x ≈ 2,3, Tiefpunkt (1|F(1))

Abbildung 1 bzw. dem Funktionsterm \(f(x) = \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\) ist zu entnehmen, dass \(x = 1\) eine einfache Nullstelle von \(f\) ist.

 

\[f(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace  x^{2} - 1 = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x_{1,2} = \pm 1\]

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Integralfunktion \(F\) eine Stammfunktion von f und es gilt somit:

\[f(11) = F'(1) = 0\]

An der Nullstelle \(x = 1\) wechselt \(f(x) = F'(x)\) das Vorzeichen von \(-\) nach \(+\). Gemäß dem Monotoniekriterium wechselt demzufolge der Graph der Integralfunktion \(F\) an der Stelle \(x = 1\) das Monotonieverhalten von „streng monoton fallend" zu „streng monoton steigend". Also hat \(G_{F}\) an der Stelle \(x = 1\) den Tiefpunkt \(TiP(1|F(1))\).

\[\left. \begin{align*} &f(x) = F'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x < 1 \\ &f(1) = F'(1) = 0 \\ &f(x) = F'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x > 1 \end{align*} \right \} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#89ba17}{\text{Tiefpunkt} \; TiP\,(1|F(1))}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2c Teilaufgabe 3a »