Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die Ebene \(E\;\colon\,2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4\).

Die Ebene \(E\) schneidet die \(x_1x_2\)-Ebene in der Geraden \(g\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(g\)

(3 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

1. Lösungsansatz: Spurpunkte, Spurgerade

 

Die Spurpunkte S₁ und S₂ der Ebene E mit der x₁-Achse bzw. mit der x₂-Achse legen die Spurgerade g der Ebene E in der x₁x₂-Ebene fest.

Die Spurpunkte \(S_1\) und \(S_2\) der Ebene \(E\) mit der \(x_1\)-Achse bzw. mit der \(x_2\)-Achse legen die Spurgerade \(g\) der Ebene \(E\) in der \(x_1x_2\)-Ebene fest.

 

Wählt man beispielsweise \(S_1\) als Aufpunkt und den Vektor \(\overrightarrow{S_1S_2}\) als Richtungsvektor, lautet die Gleichung der Geraden \(g\) in Parameterform:

\[g\,\colon\; \overrightarrow{X} = \overrightarrow{S_1} + \lambda \cdot \overrightarrow{S_1S_2} \,; \enspace \lambda \in \mathbb R\]

 

Spurpunkte \(S_1\) und \(S_2\) bestimmen:

 

Da die Spurpunkte \(S_1\) und \(S_2\) in \(x_1x_2\)-Ebene liegen, ist die \(x_3\)-Koordinate der Spurpunkte gleich Null. Die Spurpunkte liegen ebenfalls in der Ebene \(E\).

 

\[S_1(x_1|0|0)\,, S_2(0|x_2|0) \in E\]

\[E\,\colon\; 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4\]

 

\[\begin{align*}S_1 \in E\,\colon\; 2x_1 - 0 + 2 \cdot 0 &= 4 \\[0.8em] 2x_1 &= 4 & &| : 2 \\[0.8em] x_1 &= 2 \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad S_1(2|0|0)\]

  

\[\begin{align*}S_2 \in E\,\colon\; 2 \cdot 0 - x_2 + 2 \cdot 0 &= 4 \\[0.8em] -x_2 &= 4 & &| \cdot (-1) \\[0.8em] x_2 &= -4 \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad S_2(0|-4|0)\]

 

Richtungsvektor \(\overrightarrow{S_1S_2}\) der Spurgeraden \(g\) berechnen:

 

\[\overrightarrow{S_1S_2} = \overrightarrow{S_2} - \overrightarrow{S_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\-4 \\ 0 \end{pmatrix} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

Mit dem Aufpunkt \(S_1(2|0|0)\) folgt:

\[g\,\colon\; \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\,; \enspace \lambda \in \mathbb R\]

oder

\[g\,\colon\; \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\,; \enspace \lambda \in \mathbb R\]

 

2. Lösungsansatz: Vektorprodukt der Normalenvektoren der Ebenen

 

Der Richtungsvektor der Schnittgeraden g steht senkrecht auf den Normalenvektoren der Ebene E und der x₁x₂-Ebene.

Der Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}_g\) der Schnittgeraden \(g\) steht senkrecht auf den Normalenvektoren der Ebene \(E\) und der \(x_1x_2\)-Ebene.

 

Es sei \(A\) ein Aufpunkt der Geraden \(g\), welcher zusammen mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}_g\) die Gleichung der Geraden \(g\) beschreibt.

 

\[g\,\colon\; \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \mu \cdot \overrightarrow{u}_g\,; \enspace \mu \in \mathbb R\]

 

Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}_g\) der Schnittgeraden \(g\) bestimmen:

 

Der Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}_g\,\), welcher senkrecht auf dem Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_E\) der Ebene \(E\) und senkrecht auf dem Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{x_1x_2}\) der \(x_1x_2\)-Ebene steht, lässt sich mithilfe des Vektorprodukts bestimmen.

\[x_1x_2\text{-Ebene}\,\colon\; x_3 = 0\,; \quad \overrightarrow{n}_{x_1x_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[E\,\colon\; 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4\,; \quad \overrightarrow{n}_E = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\]

 

\[\begin{align*}\overrightarrow{n}_{x_1x_2} \times \overrightarrow{n}_E &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 & \cdot & 2 & - & 1 & \cdot & (-1) \\ 1 & \cdot & 2 & - & 0 & \cdot & 2 \\ 0 & \cdot & (-1) & - & 0 & \cdot & 2 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{u}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

Aufpunkt \(A\) der Schnittgeraden \(g\) bestimmen:

 

Ein Aufpunkt \(A\,(x_1|x_2|x_3)\) der Schnittgeraden \(g\) muss beide Ebenengleichungen erfüllen. Da die Schnittgerade \(g\) in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt, ist die \(x_3\)-Koordinate des Aufpunkts \(A\) gleich Null.

 

\[A\,(x_1|x_2|0)\]

 

Eine der beiden Koordinaten \(x_1\) oder \(x_2\) kann frei gewählt werden, z.B. \(x_1 = 1\).

Die \(x_2\)-Koordinate bestimmt man durch Einsetzen der Koordinaten des Aufpunkts \(A\) in die Ebenengleichung der Ebene \(E\).

 

\[A(1|x_2|0)\]

\[E\,\colon\; 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4\]

 

\[\begin{align*}A \in E\,\colon\; 2 \cdot 1 - x_2 + 2 \cdot 0 &= 4 \\[0.8em] 2 - x_2 &= 4 & &| -2 \\[0.8em] -x_2 &= 2 & &| \cdot (-1) \\[0.8em] x_2 &= -2 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad A(1|-2|0)\]

 

\[\Longrightarrow \quad g\,\colon\; \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\,; \enspace \mu \in \mathbb R\]

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